뫼비우스의 띠

델타다면체

다면체는 여러 개의 면으로 이루어진 입체도형을 말한다. 다면체들 중에는 어떤 조건 또는 규칙을 가진 것들이 있다.
대표적인 것이 정다면체이다. 정다면체는 모든 면이 서로 합동인 정다각형이고 각 꼭짓점에 모인 면의 개수가 모두 같은 볼록다면체이다. 이건 아주 강력한 조건이다. 그래서 다섯 개밖에 없다. 정4면체, 정6면체, 정8면체, 정12면체, 정20면체. 이것은 면의 수 순서로 나열한 것이다. 만약에 면의 모양으로 배열한다면, 정삼각형으로만 만들어진 입체는 정사면체, 정팔면체, 정이십면체가 있고, 정사각형으로만 만들어지는 입체는 정육면체가 있다. 그리고 정오각형으로만 만들어지는 것은 정십이면체가 있다. 또, 꼭짓점에 모이는 면의 개수로 배열할 수도 있겠다. 꼭짓점에 면이 3개 모이는 정사면체, 정육면체, 정십이면체와 꼭짓점에 면이 4개 모이는 정팔면체, 꼭짓점에 면이 5개 모이는 정이십면체가 있다.

약간 여유를 두자. 조건을 조금만 느슨하게 풀어주자. 여러 개의 정다각형을 허용하고, 꼭짓점에 모인 면의 수 대신에 다각형의 순서가 같도록 했더니 13개의 다면체가 생겨났다. 이것이 준정다면체이다.

다른 조건을 생각해 보자. 정삼각형만으로 입체도형을 만들 수 있을까? 면의 모양에만 집중해 보자. 우선 정다각형을 살펴보자. 정삼각형이 한 꼭짓점에 3개 모인 정사면체, 4개 모인 정팔면체, 5개 모인 정이십면체가 있다. 꼭짓점에 모이는 면의 개수가 달라도 좋다. 또 있을까?

정리하면, 모든 면이 서로 합동인 정삼각형이고 각 꼭짓점에 모인 면의 개수는 달라도 되는 볼록한 다면체를 생각해 볼 수 있다. 이러한 다면체를 삼각형 모양으로 생긴 문자 Δ(delta)의 이름을 따서 델타다면체(Deltahedron)라고 한다.

델타다면체를 4-D 프레임으로 직접 만들어 보자. 구체적인 활동은 수학적 지식을 구성해 가는 능력을 기를 수 있다. 또한, 학생 스스로 활동의 결과를 확인함으로써 논리적 추론을 통해 수학적 사실을 추측하고 발견할 수 있을 것이다. 시행착오라는 다양한 방법으로 델타다면체 만들기의 문제를 해결해 보자.

준비물 (최소사양)
사실 연결봉의 크기나 색은 관계가 없다. 같은 길이면 된다. 델타 다면체를 모두 만들어 보려면 더 많은 연결봉과 발들이 필요하다. 만들어보는 것보다 중요한 것은 관찰하는 것이다.

면의 수	모서리의 수	꼭짓점의 수
면의 수	연결봉	3발	4발	5발
4	6	4

입체가 만들어지려면 꼭짓점에 면이 최소 몇 개가 모여야 할까? 우리가 만들 수 있는 입체 중에 면의 수가 최소인 입체는 무엇일까? 정사면체. 가만히 보면 이 입체처럼 매력이 많은 입체가 있을까?

가장 훌륭한 도구이자 스승은 시행착오이다. 그 과정에서 조직화된 사고, 분류, 구조화된 사고방식,

면의 수	모서리의 수	꼭짓점의 수
면의 수	연결봉	3발	4발	5발
6	9	2	3

정사면체를 2개 붙여서 만들었다. 가운데 생기는 삼각형은 면이 아니다. 그곳은 이 입체의 내부이다

만약에 삼각형 두 개를 붙였더니 평면이 되어 버렸다면 이것은 삼각형 2개일까? 사각형 1개일까?
또는 오목한 입체가 되는 경우도 있다. 이건 아니다.

면의 수	모서리의 수	꼭짓점의 수
면의 수	연결봉	3발	4발	5발
8	12		6

정사각뿔 2개를 붙여서 만들었다. 정사각뿔을 우리는 피라미드라고도 한다. 사실 정삼각뿔보다는 정사각뿔이 훨씬 편안하다. 아닌가? 나는 바닥이 삼각형보다는 사각형이 훨씬 넉넉해 보인다.

시에르핀스키 피라미드에서 가운데 버리지는(?) 부분이 바로 이 부분이다.

면의 수	모서리의 수	꼭짓점의 수
면의 수	연결봉	3발	4발	5발
10	15		5	2

정오각뿔 2개를 붙여서 만들었다. 물론 여기선 오각뿔의 옆면은 모두 정삼각형들이다. 꼭짓점에 5개의 면이 모여 있다. 만약 꼭짓점에 6개의 면이 모인다면 어떻게 될까? 입체라고 할 수 있을까?

이쯤되면 위의 입체들과의 관계를 생각해 보아야 한다. 면의 수와 모서리의 수, 꼭짓점의 수 사이의 관계에는 어떤 규칙이 있는가?

면의 수	모서리의 수	꼭짓점의 수
면의 수	연결봉	3발	4발	5발
12	18		4	4

만들 수 있다면 느낄 것이다. '신기하다!' 새로운 규칙을 생각해 내야 할 시기가 되었다. 이것은 두 개의 뿔을 붙여서 만든 입체가 아니다. 위의 입체에서 이 입체를 쉽게 만들어 낼 새로운 방법이 있는가?

대칭을 생각해 보자. 관찰 해보자. 아름답지 않은가? 규칙이 없는 것 같지만 규칙은 있다. 이것들은 다른 작은 입체로 분해할 수 있을까?.

면의 수	모서리의 수	꼭짓점의 수
면의 수	연결봉	3발	4발	5발
14	21		3	6

이것은 또 어떻게 만들었을까? 델타 다면체의 면은 항상 짝수인가? 이유는 무엇일까? 이것은 분해할 수 있을까? 연결봉은 몇 개씩 늘어나는가?

델타 다면체는 몇 개 만들수 있을까? 7개인가? 8개인가? 아니면 9개인가? 더만들 수는 없을까? 더 만들 수 없다면 왜 그럴 수 없는가? 델타다면체의 종류가 8개라는 것을 모른다면 8개를 만들어도 뭔가 찜찜할 것이다. 혹시 더 있지 않을까하는 마음 때문에.

면의 수	모서리의 수	꼭짓점의 수
면의 수	연결봉	3발	4발	5발
16	24		2	8

이것을 분해하면 어떤 모양이 나타나는가? 분해된 입체도형을 보고 이 입체도형을 어떻게 만들었는지 이야기 할 수 있는가?

생각을 쥐어 짜 보자. 뭔가 나오는 것이 있겠지. 이것은 위의 입체들과 다른 새로운 형식의 입체인가?

면의 수	모서리의 수	꼭짓점의 수
면의 수	연결봉	3발	4발	5발
20	30			12

뭔가 이상하다. 건너뛴 것 같다. 18면체는 어디에 있는가? 규칙과 식은 어디로 갔는가?

꼭짓점에는 최대 몇 개의 정삼각형이 모일 수 있을까? 우리가 만들 수 있는 입체 중에 면의 수가 최대인 입체는 무엇일까?

면의 수와 모서리의 수 사이의 관계식은 무엇인가?
정사각형으로만 입체도형을 만들 수 있을까?
정오각형으로만 입체도형을 만들 수 있을까?
델타다면체가 이론적으로 8개라는 것을 꼭 증명해야 할까?

참고 : 영재 교육을 위한 창의력 수학Ⅱ. 남호영·박제남·장영호, 경문사,2006
델타다면체랑 놀자, 이성현,울산과학고

이 세상에 쉬운 것은 없다. 그러나 재미있는 것은 많다.