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수학자와 책갈피가 만났을 때

7. 소수 (prime number)
1보다 큰 정수 p가 1과 p 자신 이외의 양의 약수를 가지지 않을 때의 p. 이를테면, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,… 등은 모두 소수이다. 4=(2²), 6=(2×3), 16=(2⁴)… 등, 소수가 아닌 자연수를 합성수라 하며, 1은 소수도 아니고 합성수도 아니다. 자연수 n이 소수인지 아닌지를 판정하려면, 2≤p≤ √n인 범위에 있는 모든 소수 p로 n을 나누어 보아, 나누어지지 않으면 소수이고, 나누어지면 합성수이다. 정수의 열 2, 3, 4, 5,…로부터 소수를 찾아내는 방법으로 그리스 시대부터 알려진 에라토스테네스의 체(sieve of Erathosthenes)라는 것이 있는데, 이 방법도 실은 위와 같은 원리에 따른 것이다. 또 메르센의 소수(Mersenne number)도 소수의 유력한 판정법을 제공해 준다. 무한히 많은 소수가 존재한다는 것은 그리스 시대부터 알려진 사실이며, 유클리드의 《기하학원본》 중에도 그 설명으로 정해진다. 이 정리를 초등정수론의 기본정리라고 한다.
2008년 8월 23일, 미국 로스엔젤레스에 있는 캘리포니아 대학(UCLA)의 수학팀의 리더인 Edson Smith가 드디어 1천만 자리가 넘는 소수 2^43112609-1를 발견했다. 316,407,…로 시작하여 …,152,511로 끝나는 이 소수는 무려 1297만 8189자리의 숫자이다. 이번 소수는 GIMPS가 찾아낸 11번째 소수이고, 공식적으로 46번째 메르센느 소수이다. UCLA 의 E.Smith는 원도XP를 탑재한 75대의 컴퓨터 네트워크를 통해 이 메르센 소수를 발견했으며, 다른 컴퓨터 시스템의 다른 연산법에 의해 이 소수의 존재가 검증됐다. EFF가 제공하는 10만달러의 상금도 받았다. EFF는 1억자리가 넘는 소수에 15만 달러의 상금을 걸었다.
2006년 9월 11일, 커티스 쿠퍼 박사( Dr. Curtis Cooper)와 스티븐 부네 박사(Dr. Steven Boone)가 주도하는 미국 센트럴 미주리 주립대학 팀(CMSU)이 채 1년도 지나지 않아 새로운 소수 2^32582657-1를 발견했다. 아쉽게도 10만 달러의 상금이 걸린 1000만 자리 소수는 아니였다. 이 소수는 980만 8358자리의 숫자이다. 이번 소수는 GIMPS가 찾아낸 10번째 소수이고, 공식적으로 아마 44번째 메르센느 소수일 것이다. 이 소수로 쿠퍼와 부네 박사는 자신들의 기록을 스스로 깬 것이다. 12,457....로 시작하여 ....967,871로 끝나는 이 소수의 길이는 보통사람이 손으로 쓰면 꼬박 9주가 걸리고 그 길이만 해도 34km정도가 된다. 이번에도 CMSU는 대학의 700개의 컴퓨터를 PrimeNet 에 연결하여 이 소수를 발견했다.
2005년 12월 25일, 크리스마스날, 커티스 쿠퍼 박사( Dr. Curtis Cooper)와 스티븐 부네 박사(Dr. Steven Boone)가 주도하는 미국 센트럴 미주리 주립대학 팀(CMSU)이 새로운 소수 2^30402457-1를 발견했다. 이 소수는 915만 2052자리의 숫자이다. 공식적으로 43번째 메르센느 소수이다. GIMPS가 올해 두 번째로 발견한 가장 큰 소수다. 메르센 소수는 대부분 개인들이 발견했지만 이번에는 지금까지 가장 많은 프로세싱 기간(90MHz 펜티엄 컴퓨터가 6만 7천년 동안 작동되는 시간)을 투자한 CMSU팀이 발견했다. 1,000만자리 소수를 발견하는 사람에는 미 전기프론티어재단(EFF Electronic Frontier Foundation)에서10만달러의 상금이 줄 예정이라며 더 큰 소수 찾기에 도전할 것을 독려하고 있다. 따라서 아직까지는 이 상금이 유효하다.
2005년 2월 18일, 독일인 안과의사인 마틴 노박 박사(Dr. Marttin Nowak)가 새로운 소수 2^25964951-1를 발견했다. 마틴 노박 박사가 발견한 이 소수는 781만 6230자리의 숫자이다. 공식적으로 42번째 메르센느 소수이다. 이 소수를 찾는데 cpu 2.4GHz 펜티엄4 컴퓨터를 가지고 계산 시간만 50일 이상이 걸렸다. 그는 수학을 취미로 하는 의사이다. 이수는 계산에만 16 Itanium CUP로는 5일 12 CPUs Compaq Alpha GS160 1.2 GHz CPU 12개로는 15일 걸려 다른 기관에서 증명해주었다.
2004년 6월 8일, 미국립해양대기청(NOAA) 고문인 조지 핀들리(Findley.Josh)가 새로운 소수 2^24036583-1를 발견했다. Findley가 발견한 이 소수는 723만 5733자리의 숫자이다. 공식적으로 41번째 메르센느 소수가 될 이 소수는 풀어쓰는 데만 족히 6주가 걸리고 그 길이는 25km에 달할 것이다. 핀들리가 찾아낸 이 소수는 지금까지 찾아낸 가장 큰 메르센느 소수보다 약 100만 자리나 큰 것이다. 핀들리는 자신의 2.4기가 펜티엄4 윈도XP 컴퓨터로 이번 쾌거를 이뤘다. 그는 수많은 개인용 컴퓨터(PC)를 인터넷으로 연결해 메르센느 소수를 찾아내는 프로젝트(GIMPS)를 통해 24만대의 PC망을 활용하여 이 소수를 발견했다. 핀들러는 GIMPS에서 제공한 소프트웨어 PrimeNet 시스템에 참여했다. PrimeNet 시스템은 Scott Kurowski가 개발한 시스템으로 GIMPS에서 제공한 소프트웨어를 장착한 24만대의 개인용 컴퓨터를 인터넷으로 병렬 연결해 만들어낸 이른 바 '가상 슈퍼컴퓨터'이다. 그는 5년 동안 이 프로젝트에 참가해 왔으며 이번 계산을 마치기까지는 꼬박 14일 동안 쉬지 않고 컴퓨터를 가동했다.
2003년 10월 2일, 미국 미시간주립대 화학공학과 대학원생인 마이클 셰이퍼 Michael Shafer(26살)는 새로운 소수 2^20996011-1를 발견했다. 셰이퍼는 소수들 발견했을 당시를 이렇게 이야기하고 있다. "새로운 소수를 찾아낸 컴퓨터를 본 것은 지도교수님과의 미팅을 방금 끝낸 후 였습니다. 짧은 승리의 춤을 추고 저는 이 대단한 소식을 아내와 GIMPS와 관련된 여러 친구들에게 알렸습니다." 그는 이 수가 소수임을 증명하기 위해 2GHz의 펜티엄 4 컴퓨터를 19일 동안 돌렸다고 한다. Shafer가 발견한 이 소수는 '887595······'로 시작하는 632만 430자리의 숫자이다. 보통 사람이 노트에 쓴다면 꼬박 5주가 걸릴 정도로 큰 숫자라고 한다. 컴퓨터 한 대가 이 정도의 크기의 소수를 찾으려면 2만 5000년 정도가 걸릴 것으로 추산된다.