원뿔 (circular
cone) 
3. 원뿔 곡선 
2004년에 만든 쌍곡선 실험기와 원뿔곡선 실험기, 포물선 실험기이다. 중학교 학생들에게도 다양한 곡선이 있다는 것을 보여줄 필요는 있을 것 같았다. 포물선과 타원, 쌍곡선의 뜻을 수학적으로 설명하였더니 이해하는 눈치였다. 자세한 것을 고등학교 가서 배우면 그 때는 무릎을 탁 치며 ‘아’ 하고 감탄하겠지? 이것도 종이로 만들었다가 한번 행사가 끝나면 모두 망가져 버려서 나무로 만들었다. 모래를 이용하면 신기하게도 그렇게 어려워 보이는 원뿔곡선이 생긴다. 예쁘게 흘러내리는 모래의 모습이 재미있다. 모래를 쌓아놓으면 원뿔이 생긴다. 이 원뿔을 하나의 평면으로 잘라 얻은 곡선을 통틀어 원뿔곡선이라고 부른다. 무슨 소리냐하면 자르는 모양에 따라 원도 생기고 타원도 생기고 포물선도 생기고 쌍곡선도 생긴다. 햐~. 무슨 말인지 어렵다.^^ 아래를 보자.
- 모래를 이용하여 타원 만들기- 아래 그림들은 원뿔곡선 실험기이다. 이 실험기는 원뿔을 절단했을 때 생기는 원과 타원의 모양을 모래를 이용하여 보여준다. 처음 그림은 원뿔이다. 원 위에 모래를 살살 비우면 원뿔이 생겨난다. 원뿔은 공평하다. 원뿔의 꼭짓점에서 밑면까지의 거리(우리는 모선의 길이라 부른다)가 모두 같다.
두 번째 그림은 원뿔을 밑면에 평행하게 자른 모양인데, 원뿔 바닥의 원의 중심에 구멍을 뚫어 모래가 아래로 흘러내리게 했다. 그럼 화산의 분화구 모양이 생기는데 이게 원이다. (원뿔을 밑면에 평행한 평면으로 자르면 원이 생겨난다.)
원뿔 바닥의 구멍을 중심이 아니라 옆에 뚫고, 모래가 그 구멍 속으로 흘러내리게 하면 타원이 생겨난다. 그런데 이게 어째서 타원이냐? 하는 의문이 드는데. 타원의 정의가 평면 위의 두 점(초점)으로부터 길이의 합이 일정한 점들의 집합이다.
아래 처음 그림을 보자. 점O가 원뿔의 꼭지점이므로, AO=BO 이다. 또, PA=PF 이고 QF=QB이다. (흘러내린 모래이므로)
PF + PO = AP + PO = AO = BO = BQ + QO = FQ + QO 즉, PF + PO = FQ + QO 이다. (길이의 합이 일정하다)
따라서 점P와 점Q는 타원 위에 있는 점이다. (원뿔을 밑면에 비스듬한 평면으로 자르면 타원이 생긴다.)
아래는 2004년 만들었던 타원 만들기 교구 사진이다. 이걸 보면 누구나 쉽게 만들 수 있을 것이라 생각되어 올려놓는다.
- 모래를 이용하여 쌍곡선 만들기- 아래 그림들은 쌍곡선 실험기이다. 이것은 모래를 이용하여 쌍곡선을 만드는 실험기이다. 쌍곡선의 정의가 평면 위의 두 점(초점)으로부터 길이의 차가 일정한 점들의 집합(자취)이다.
아래 그림들을 보자. 점O를 중심으로 OA를 반지름으로 하는 원을 그려 잘라냈다. 점O와 F가 초점이다.
점P에서 보면 모래가 공평하게 점 F와 A쪽으로 흘러내렸다. 따라서, PA=PF 이다. 마찬가지로 점Q에서 보면 모래가 공평하게 점 F와 B쪽으로 흘러내렸다. 따라서, QB=QF 이다.
OP - PF = OP - PA = (반지름 AO) = (반지름 BO) = OQ - QB = OQ - QF
즉, OP - PF = OQ - QF 이다. (길이의 차이 일정하다)
따라서 점P와 점Q는 쌍곡선 위에 있는 점이다. (능선을 위에서 보면 쌍곡선이 된다.)
아래는 2004년 만들었던 쌍곡선 만들기 교구 사진이다.
- 모래를 이용하여 포물선 만들기 - 아래 그림들은 포물선 실험기이다. 이것은 모래를 이용하여 포물선을 만드는 실험기이다. 포물선의 정의가 평면 위에 있는 한 직선과 직선 위에 있지 않는 한 점(초점)으로부터 길이가 같은 점들의 집합(자취)이다.
아래 그림을 보자. 처음 그림은 포물선 실험기이다. 밑면에 구멍을 하나 뚫었는데, 이 점이 초점이 된다. 여기에 모래를 살살 비우면 포물선이 생겨난다. 점P에서 보면 모래가 공평하게 점 F와 A쪽으로 흘러내렸다. 따라서, PA=PF 이다. 마찬가지로 점Q에서 보면 모래가 공평하게 점 F와 B쪽으로 흘러내렸다. 따라서, QB=QF 이다.
