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페르마의 점 (Fermat Point)

페르마의 점 거리의 합이 최소인 점을 찾는 것은 프랑스의 수학자 페르마(Fermat :1601~1665)에 의해 다음과 같은 문제로 제시되었다. '삼각형의 각 꼭지점으로부터의 거리의 합이 가장 작게 되는 점을 구하여라.' 구하여는 점은 페르마의 이름을 따서 페르마의 점(Fermat Point)이라고 불리며, 이 문제는 여러 수학자들의 지속적인 노력으로 해결되었다.	1. 페르마의 점 실험기 만들기 2. 비누용액 만들기 3. 삼각형에서의 페르마의 점 증명 4. 사각형에서의 페르마의 점 증명
1. 삼각형에서의 페르마의 점 : 삼각형의 세 변 위에 각각 정삼각형을 그렸을 때, 세 정삼각형의 외접원의 교점이 페르마의 점이다. 삼각형의 세 꼭지점과 페르마의 점을 잇는 세 선분이 이루는 각의 크기는 모두 120° 이다. <- 그림설명 : 박부성님의 Fermat 점 작도법 2. 다각형에서의 페르마의 점의 성질 - 페르마의 점은 다각형의 꼭지점의 개수보다 2개 적게 생긴다. - 페르마의 점에서 꼭지점을 잇는 선분을 그렸을 때 세 선분이 이루는 각의 크기는 모두 120°이다. - 삼각형의 세 변 위에 각각 정삼각형을 그렸을 때, 각 변을 사이에 두고 마주보는 두 꼭지점까지의 길이가 서로 같다.
3. 생활 속의 페르마의 점 바다 속 여러 곳에는 석유가 많이 나오는 유전들이 있다. 유전에서 생산된 석유를 한 곳으로 모으기 위해서 '석유 이동 통로'를 만들려고 한다. 돈을 절약하기 위해 통로의 길이를 가장 짧게 하려고 한다. 유전들을 어떻게 연결하면 좋을까? 광섬유를 사용하여 세 도시간의 정보통신망을 구축할려고 한다. 연결하고자 하는 세 도시 사이의 연결망은 땅을 파서 케이블을 설치하는데, 여기에 드는 총 비용은 케이블 설치와 케이블을 놓게 될 땅을 파는 인건비에 따른 것이다. 이 비용을 최소화하기 위해 케이블을 설치할 때 그 길이를 가장 짧게 하려고 한다. 세 도시를 어떻게 연결하여야 하는가? 페르마의 점은 비누막에서 찾을 수 있다. 비누막이 형성될 때는 가능한 한 표면이 비누막은 공기에 닿는 넓이가 가장 작게 되도록 퍼진다는 성질을 가지고 있다. 따라서 비부방울은 그 모양이 공의 형태를 띠게 된다. 그러나 이러한 비누방울이 모여 거품을 이룰 때는 비누방울의 가장자리가 120°의 각도로 삼각교차를 하며 만나는 다른 형태가 된다. 이 삼각교차점은 세 직선이 120°의 각도로 만나는 점으로 '페르마의 점'이라 할 수 있다. 이를 응용하면 길이가 가장 짧은 연결 통로를 만들 수 있다.