소수점이하 1,000자리까지

황금비Golden Ratio

황금비 는 선분을 길이로 둘로 나눌 때, 와 같은 값으로 정의된다.
황금비는 주어진 길이를 가장 이상적으로 둘로 나누는 비로, =이다. 황금비는 근사값이 약 1.618인 무리수이다.

= 1.61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811 77203 09179 80576 50 자리
28621 35448 62270 52604 62818 90244 97072 07204 18939 11374 100 자리

황금비 10,000자리 까지

[ 황금분할기 만들기 ]
황금분할기는 닮음의 성질을 이용하여 주어진 선분이나 물체등을 황금비로 만드는 교구이다. 황금분할기를 만들면서 황금비와 황금분할의 기본 개념을 더 잘 이해할 수 것이다. 자. 우리 주변의 황금비를 찾아보자.

‘황금분할(Golden Section)‘ 또는 ‘황금비율(Golden Ration)‘이라는 명칭은 그리스의 수학자 에우독소스에 의해 붙여지게 되었다.
흔히 황금비율을 '피'라고 부르는 것은 이 비율을 조각에 이용하였던 그리스의 가장 유명한 조각가였던 피디아스(phidias)를 기리기 위하여 그리스 머리글자에서 따왔기 때문이다. 피아디스는 파르테논 신전 기둥들의 윗부분에 있는 일련의 조각품뿐만 아니라 신전 자체를 포함하여 제우스의 상에 이르기까지 그의 여러 작품들 속에서 이 황금비를 풍부하게 구현하였다.

를 나타내는 수학공식
황금비를 나타내는 는 수가 아니라 관계이다. 를 나타내는 수학공식은 전체와 닮은 끝없는 부분들로 이루어져 있다.

원의 비례를 이용하여 황금비 작도하기
작도하는 방법
1. 선분 AB의 중점 M을 잡고, 점 B를 중심으로 선분 BM을 반지름으로 하는 원을 그린다.
2. 점 B를 지나는 선분 AB의 수선과 원 B와 만나는 점 O를 잡는다.
3. 점 O를 중심으로 반지름이 OB인 원 O를 그린다.
4. 선분 OA와 원 O와의 교점을 C라고 한다.
5. 점 A를 중심으로 반지름이 AC인 원을 그려 선분 AB와의 교점을 P라고 하면, 점 P가 선분 AB를 황금분할하는 점이 된다.

정사각형을 이용한 황금사각형의 작도
작도하는 방법
1. 선분 AB를 한 변으로 하는 정사각형 ABCD를 작도한다.
2. 선분 AB의 중점 0를 잡는다.
3. 점O를 중심으로 하고, 선분 OC를 반지름으로 하는 원을 그리고 선분 AB의 연장선과의 교점 E를 잡는다.
4. 점 E에선 선분 AE의 수선을 그어 변 CD의 연장선과의 교점 F를 잡는다.
5. 직사각형 AEFD는 황금사각형이 된다.

황금 나선
앵무조개의 껍질에 나타나는 나선을 모양을 황금 나선이라고 한다. 자연에서 가장 흔하게 발견되는 나선형이 바로 황금 나선형이다. 황금 나선형은 조가비나 숫양의 뿔, 우리의 귓바퀴와 주먹 물의 소용돌이, 수많은 별로 이루어진 은하 등에서 나타나는 나선형이다. 이는 황금사각형을 기본 틀로 해서 만들어진다. 이 황금나선은 뉴턴이 자신의 머리맡에 붙여두었다는 것으로 유명하기도 하다. 스위스의 수학자 자코브 베르누이(Jakob Bernoulli)는 이 나선형에서 자기 누적과 자기 재생의 성질에 깊은 감명을 받아 도형에 '비록 변할지라도 나는 항상 똑같이 다시 솟아난다.'라는 좌우명을 붙이고 자신의 무덤에 이 도형의 모양과 좌우명을 새겨줄 것을 부탁했다. 그러나 석수는 이 황금 나선이 아닌 다른 나선형을 새겨넣고 말았다. 아마도 그 석수는 황금 나선형이 무엇인지 몰랐을 것이다.이 황금 나선의 작도는 다음 세가지 방법으로 나누어 볼수 있다.

정사각형을 이용한 황금나선의 작도
이 방법은 하나의 황금사각형에서 출발하여 그 사각형 안에 인접한 일련의 정사각형을 그려 나가고 그 정사각형의 사분원을 이용하여 황금나선을 작도하는 것이다.
1. 황금사각형을 작도한다.
2. 황금사각형 안에 짧은 변을 한 변으로 하는 정사각형을 그린다. 이 때, 남은 부분은 황금사각형이 된다.
3. 위의 방법으로 남은 황금사각형의 짧은 변을 한 변으로 하는 정사각형을 그리면 또 다른 황금사각형을 얻을 수 있다(그림 참조).
4. 이와 같은 방법으로 정사각형을 그리는 과정을 계속하면 무한히 많은 황금사각형을 얻을 수 있다. 이 때 정사각형을 붙여나가는 방향은 항상 일정해야 한다. 여기서는 반시계방향이다.
5. 이제 각각의 정사각형 안에 사분원을 하나의 곡선으로 연결하면 황금 나선이 나온다.

황금사각형의 대각선을 이용한 황금나선의 작도
이 방법은 하나의 황금사각형에서 출발하되, 그 사각형의 대각선에 대한 수선을 이용하여 일련의 황금사각형을 작도하고 이 때 생기는 정사각형의 사분원을 이용하여 황금나선을 작도하는 것이다.
1. 먼저 황금사각형 ABCD를 작도한다.
2. 황금사각형의 한 대각선 AC를 긋고, 꼭지점 B에서 그 대각선에 수선을 그어 변 AC, CD와의 교점을 O, F라고 한다.
3. 점 F에서 변 AB에 수선을 그어 만나는 점을 E라고 한다. 이 때 생기는 사각형 AEFD는 정사각형이고, FEBC는 황금사각형이 된다.
4. 이번에는 대각선 AC와 선분 EF의 교점 G에서 선분 BC에 내린 수선의 발을 H라고 하자. 역시 이 때 생기는 사각형 GEBH는 정사각형이고, GHCF 황금사각형이 된다.
5. 이와 같은 방법으로 계속해서 반복하면 수많은 정사각형과 황금사각형을 얻을 수 있다.
6. 이제 각각의 정사각형 안에 사분원을 하나의 곡선으로 연결하면 황금 나선이 나온다.

피보나치 수열을 이용한 황금나선 작도
이 나선형은 피보나치 수열 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... 의 누적 과정에 따라 증가한다.
1. 먼저 한변의 길이가 1인 정사각형을 그린다.
2. 합동인 정사각형을 이웃해서(윗쪽) 붙여서 그린다.
3. 한변의 길이가 2인 정사각형을 2의 긴 변 옆(오른쪽)에 붙인다.
4. 한변의 길이가 3인 정사각형을 3의 긴 변 옆(아래쪽)에 붙인다. 이 때 붙여나가는 방향은 항상 일정해야 한다. 여기서는 시계방향이다.
5. 이와 같은 방법으로 계속해서 정사각형을 그리면 정사각형의 한변의 길이는 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...과 같이 피보나치 수열을 이룬다.
6. 정사각형을 충분히 그린후, 정사각형을 그린 방향과 같은 방향으로 각각의 정사각형 안에 사분원을 그린다. 그러면 아래 그림과 같은 등각 나선의 모양이 나온다.
앞의 작도는 바깥쪽에서 안쪽으로 들어오면서 황금사각형을 그리고 그 안에 나선을 그렸지만 이 작도법은 반대로 안에서 바깥쪽을 향해 나간다. 피보나치 수를 한 변의 길이로 하는 정사각형들을 그리고 정사각형의 내부에 꼭 들어맞는 사분원을 연속적으로 그린 것이다. 이 나선은 피보나치 수를 이용해 만들었기 때문에 피보나치의 나선이라고도 한다.
그러나 이 과정에서 그려지는 직사각형은 황금직사각형이 아니라 황금직사각형에 근사하는 사각형이다.

인체에서 발견되는

고대 그리스인은 인체의 부분들과 전체가 이상적인 황금비로 이루어져 있다는 사실을 발견했다.
그리스의 피아디스는 조각 작품에서 의 비율을 머리/목, 팔뜩/손목, 허벅다리의 가장 넓은 부분/ 허벅지의 가장 좁은 부분, 장딴지/발목 등 다양한 폭들 사이의 관계에 적용하였다.
모든 사람은 이상보다 약간 크거나 작지만, 통계학적 평균은 에 근접한다.
<- 손목은 큐빗(cubit : 팔꿈치에서 가운데 손가락까지의 길이)를 황금분할 한다.

얼굴에서의 황금비
사람의 얼굴은 인종, 민족, 성별, 연령 등에 따라 각양각색이다. 그래서 우리가 흔히 예쁘다고 하는 얼굴과 외국에서 예쁘다고 하는 얼굴은 조금 다르다. 하지만 공통적인 어떤 균형미는 존재하지 않을까?
  옆의 사진은 2008년 얼굴학자 조용진 교수가 밝힌 우리나라 '여성적 미인형' 얼굴이다. 20년간의 연구 성과를 집대성한 '현대 미인의 얼굴'이라고 한다. 여러 가지 자료를 분석해서 한국인들이 미인이라고 생각하는 얼굴을 합성해 놓은 것이다.
  이 사진의 얼굴에서도 그 나름대로 가장 이상적인 균형, 즉 ‘황금비’를 찾아볼 수 있다. 우선 눈썹에서 머리 꼭대기까지의 거리(l)은 눈썹에서 코끝까지의 거리(k)의 배이다.
(a) 입술에서 코끝까지의 길이, (b) 코끝에서 눈의 중심을 지나는 선까지의 길이, (c) 턱 끝에서부터 코끝까지의 길이, (d) 턱 끝에서부터 눈의 중심을 지나는 선까지의 길이, (e) 턱 끝에서부터 이마 윗부분까지의 길이, (f) 얼굴의 최대 세로 길이, (g) 두 눈의 양 끝 사이의 거리, (h) 입술의 가로 길이, (i) 두 눈의 안쪽 사이의 거리(코의 가로의 길이), (j) 얼굴의 최대 가로의 길이 라고 할 때,
     가 된다.
황금비 와 유사한 비가 얼굴에 또 있는지 찾아 보도록 하자. 하지만 항상 이런 비가 성립하지는 않는다. 사람에 따라 아주 다르기도 하고, 비슷하기도 한다. 다만 우리가 예쁘다고 생각되는 사람은 값에 접근한 경우가 많다.

손에서의 황금비
손가락 뼈를 살펴보자. 손가락의 첫 마디뼈의 길이와 두 번째 마디뼈의 길이의 비가 황금비이다. 두 번째 마디뼈의 길이와 세 번째 손가락마디뼈의 길이의 비도 황금비이다. 세 번째 마디뼈의 길이와 손등의 길이의 비도 황금비이다.
이것은 각 손가락 관절의 길이에다 1.618을 곱하면, 그 다음으로 큰 부분의 길이가 나온다는 것을 의미한다.
손가락의 첫 두 마디뼈를 다른 손 같은 손가락의 세 번째 손가락 마디뼈와 나란히 짝지으면 그 길이가 같다. 손가락의 두 번째, 세 번째 마디뼈를 손등 안에 있는 네 번째 뼈와 나란히 짝지어도 같은 관계가 나타난다는 것을 알 수 있다.

자연에서 발견되는

[ 자연 속의 황금비-피보나치 잎차례]
- 식물의 잎은 각각의 잎들이 성장에 필요한 햇빛, 습기, 공기 등을 얻는데 가장 좋은 곳을 찾아 생겨난다. 잎이 난 자리 바로 위에 잎이 난다면 아래의 잎은 성장에 필요한 요소들을 얻기가 어렵다. 따라서 잎은 줄기를 따라 올라가면서 나선형으로 약간씩 비껴서 나서 아래 잎이 햇빛에 가려지는 것을 막는다. 빛을 최대한 많이 받으려고 하는 것이다.


곤충의 몸은 머리, 가슴, 배 세 부분으로 나누어지는데, 이중 꿀벌은 머리와 가슴을 합한 부분의 길이와 배 부분의 길이 비율을 살펴 보면 황금비를 이룬다는 것을 알 수 있다.	농어의 일종인 바스(Bass)는 부위별로 황금비를 이룬다. 바스는 아가미 지느러미의 끝 부분에 의해 몸 전체 길이가 아가미로부터 황금분할 되고 배 부분에 달린 뒷지느러미에 의해 꼬리부분부터 몸 전체 길이가 황금분할된다. 그림은 화이트 바스이다.

건축에서 발견되는

참고 : http://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio#cite_note-quadform-0
황금비에는 황금이 있다?!, 김미자 외, 수학사랑, 2001
자연, 예술, 과학의 수학적 원형, 마이클 슈나이더, 경문사
손목- http://www.andrewdiec.com/Anatomy/Muscles-ArmBack.jpg
꿀벌- http://brandonjthompson.com/images/temple_and_bee/bee_side3.jpg
화이트 바스- http://www.printsoldandrare.com/denton/003df.jpg
앵무조개- http://farm4.static.flickr.com/3125/2367436411_1a1921d2c6_b.jpg