자연 속의 황금비-피보나치 잎차례
식물의 잎은 각각의 잎들이 성장에 필요한 햇빛, 습기, 공기 등을 얻는데 가장 좋은 곳을 찾아 생겨난다. 잎이 난 자리 바로 위에 잎이 난다면 아래의 잎은 성장에 필요한 요소들을 얻기가 어렵다. 따라서 잎은 줄기를 따라 올라가면서 나선형으로 약간씩 비껴서 나서 아래 잎이 햇빛에 가려지는 것을 막는다. 빛을 최대한 많이 받으려고 하는 것이다.
이와 같이 줄기에서 잎이 나는 방식을 잎차례라고 한다. 식물의 맨 아래에서부터 시계 반대 방향으로 잎이 나는 순서대로 번호를 붙였을 때, 1번 잎 위에서 다른 잎이 오기까지, 2회전에 걸쳐 5개의 잎이 나는 경우, 그리고 3바퀴에 걸쳐 8개의 잎이 나는 경우가 있다. 한 잎에서 다음 잎이 나기까지의 회전하는 비를 분수로 2/5 잎차례, 3/8 잎차례라고 한다. 즉, 식물이 a번 회전하면서 b개의 잎이 나올 때, (b+1)번째 잎이 처음 잎 위에 나가 될 때, a/b 잎 차례라고 한다. 대부분의 식물에서 잎차례를 계산해 보면 분모와 분자에 피보나치 수가 들어 있어(잎차례)는 황금각(137.5°)에 가까워진다. (사진은 제주도 야생화 전문 박물관 방림원에서 찍은 철쭉).
■ 준비물 :
- 색표지(180g) 에 인쇄된 나선 전개도
- 녹색 색지에 인쇄도 나뭇잎 그림
- 각도기
- 수수깡, 풀
- 침핀
- 가위
- 스카치 테이프
■ 만드는 방법
1. 색표지에 아르키메데스의 나선을 인쇄하고 가운데 점을 중심으로 137.5° 의 간격으로 점을 찍는다.
각도기의 중심을 나선의 중점 위에 놓고 그림처럼 직선이 옆의 점 위을 지나게 놓고, 137.5° 되는 지점을 표시한다.
표시한 점과 중점을 연결하는 선을 그린다.
이 때 선은 나선이 회전한 곳까지만 긋는다.
선분의 중점을 표시한다. 여기에 잎을 붙일 것이다.
각도기의 중심을 중점 위에 놓고 각도기의 밑변의 선은 위에서 그은 선 위을 지난다. 137.5° 되는 지점을 표시한다.
표시한 점과 중점을 연결하는 선을 그린다.
이 때도 선은 나선이 회전한 곳까지만 긋는다.
위의 과정을 반복한다. 꼭 각도기의 중심은 중점 위에 놓아야 한다. 나선이 회전한 곳까지 선을 긋고 잎을 붙일 곳을 표시한다.
2. 나선을 선을 따라 오린다.
3. 잎의 끝에 풀을 칠하고, 찍힌 점 위에 잎을 하나씩 붙인다.
4. 수수깡에 나선의 중심을 침핀으로 고정하고 나머지 한쪽 끝을 테이프로 수수깡에 붙여 고정시킨다.
자. 이제 완성이다 가운데 점(중점)이 줄기의 중심이다. 실제로 식물에서는 여기에 꽃이 핀다. 예쁘다^^.
실제로 밖에 나가서 풀의 잎을 살펴보자. 하지만 솔직히 이런 배열을 찾기가 쉽지 않았다. 자연은 단순하지가 않았다. 기본을 지키고 있었지만 상황에 따라 식물은 다양하게 변화했다. 잎이 하나씩 건너뛰기도 했고, 옆으로 쭉 늘어서 있기도 했다. 이것 역시 자기의 환경에 맞춰서 햇빛을 최대한 많이 받으려고 하는 노력처럼 보였다. 참 신기했다.
이 자료는 2008년 제주수학체험전에 참가했던 제주중문중학교 고경은 선생님의 지도로 피보나치 잎차례를 만드는 과정을 정리한 것이다.
참고 : www.tmath.or.kr 수학과 교육 통권 65호 2007년 11·12
자연, 예술, 과학의 수학적 원형, 마이클 슈나이더, 경문사,
황금비에는 황금이 있다?!, 김미자 외, 수학사랑