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생활 속의 수학

7. 눈감고 똑바로 걸을 수 있을까?

깊은 산속에서 갑자기 생겨난 안개 때문에 길을 잃은 나뭇꾼 이야기를 들어본 적이 있을 것이다. 날은 어두워지고 안개는 점점 더 깊어지고, 나뭇꾼은 길을 찾기 위해 똑바로 한참을 정신없이 걸었다. 그런데, 길은 나타나지 않고 처음 출발했던 곳으로 돌아오는 것 같았다. 나뭇꾼은 두려운 마음에 바닥에 짐을 내려놓고 정신을 가다듬었다. 나무와 안개를 헤치면서 다시 일직선으로 길을 찾아 떠났다. 그러나 마치 여우에게 홀린 것처럼 도착한 곳은 나뭇꾼이 나뭇짐을 벗어놓은 곳이 아닌가? 밤 새 몇 번을 길을 찾아 헤매었지만 결과는 마찬가지였다. 날이 밝아 겨우 겨우 마을로 돌아온 나눗꾼은 귀신에게 홀렸다며 앓아 눕는다.

  이렇게 원을 그리면서 빙빙 같은 자리를 맴도는 일이 흔히 있다는 이야기는 옛날부터 자주 들어왔다. 어째서 이러한 현상이 일어나는 것일까?
  그 답은 인간이나 동물은 대부분 좌우 근육의 발달 정도가 다르기 때문이다. 걸음을 걸을 때, 왼발을 오른발보다 조금이나마 더 앞으로 내딛는 사람은 곧게 걸을 수 없는 것이 당연하다. 눈이 이것을 수정해주지 않으면, 그 사람은 반드시 한쪽 방향으로 치우치게 된다. 마찬가지로 어두워서 방향을 알 수 없을 때, 보트를 젓는 사람의 오른팔이 왼팔 보다 힘이 세면, 그 배는 반드시 왼쪽 방향으로 치우치게 된다.
  즉, 왼쪽 또는 오른쪽으로 저도 모르게 돌 게 되는 것은, 순전히 기하학적인 문제인 셈이다.

실제로 그런지 실험을 해 보았다. 우선 눈을 가리고 똑바로 걸어갈 수 있는 지부터 알아보았다. 대부분의 학생의 오른쪽으로 치우쳐서 걸어갔고, 한 두 명만이 왼쪽으로 걸어갔다. 걸음의 자취는 원을 그리는 것 같았다.

그래서, 어떤 학생이 '오른쪽 방향으로 완전한 원을 그린다'는 가정을 하고 실제로 실험을 해 보았다.

준비물 : 5m 줄자, 계산기

(1) 눈을 감고 다섯 걸음을 걸었다.
3번을 반복하여 평균을 내었다.

예를 들어,

3.60m, 3.78m, 3.58m

(3.60+3.78+3.58)/3=약 3.65m

이 학생의
다섯 걸음의 평균은 3.65m이다.

운동장에 직선을 그리고 직선의 끝에 목표물을 하나 놓는다. 이 직선이 기준선이 된다.

(2) 우선 눈을 가리기 전에 미리 정해 놓은 목표를 바라본다.
(3) 그 상태로 눈을 가리고 목표를 향하여 똑바로 걸어 간다고 생각하면서 걸어간다. 주의해야 할 것은 느낌으로 방향을 조절해서는 안 된다.
(4) 50걸음을 걸어간 후 멈춰 선다.
(5) 멈춰 선 곳에서 기준선과의 거리를 측정한다.

이 학생의
기준선 과의 거리는 4.20m 이었다.
걸어간 거리는 3.65×10= 36.5m 이다.

(6) 이제, 이 학생이 그린 원의 반지름을 구해보자.

아래 그림에서 선분 AE는 기준선과의 거리이고, 호 SE는 학생이 눈을 감고 걸어간 거리이다.
즉, 선분 AE = 4.20m 이고 호 SE = 36.5m이다.
점 O는 우리가 가정한 원의 중심이고, AE=AB인 점 B를 잡았다. 따라서 선분 BE=8.4m 이다.
여기서 호SE의 길이와 선분SE의 길이를 거의 같다고 보아서 선분 SE=36m 라고 하면, (측정값이므로 약간의 오차를 무시)

  △OES과 △SEB는 이등변삼각형이고,
  AE // SO 이므로 ∠AES =∠0SE 이다.
   따라서, △OES ∽△SEB 이므로

        OS : SE = SE : BE
          OS : 36 =36 : 8.4
              OS ≒155

따라서, 이 학생이 그린
원의 반지름의 길이는 약 155m 이다.

(7) 다음으로, 이 학생의 오른발과 왼발의 운동을 실제로 계산하여 보자. 이를 위해서 오른발과 왼발 사이의 간격은 보통 10cm쯤 된다는 것을 먼저 염두에 두자.

  이때, 오른발의 자취의 반지름을 r m 라고 하면, 그 코스의 전체 길이는 2πr m 이며,
        왼발이 그은 원의 반지름은 r+0.1 m 이므로, 원의 길이는 2π(r+0.1) m 이고,
                    그 차는 2π(r+0.1) - 2πr = 2π×0.1 ≒ 0.63 m (630mm) 이다 .
  이것은 원의 반지름에 관계없이 왼발의 움직인 거리에 오른발이 움직인 거리를 뺀 값은 630mm로 항상 일정하다는 말이다.

이 학생은 지름이 약 310m, 그러니까 둘레의 길이가 약 970m 인 원을 그렸고,
평균 보폭이 3.65 ÷ 5 = 0.73 m 이므로 이 코스를 걷기 위해서는

970 ÷ 0.73 ≒ 1300 (걸음)

이 소요하게 되며, 이 중에서 오른발, 왼발이 각각 650 걸음 씩이다.

그런데 왼발은 오른발보다도 전체적으로 따져 630mm 만큼 더 간 셈이기 때문에,
왼발의 한 발자국은 오른발의 한 발자국보다도

630 ÷ 650 ≒ 0.97mm 가 더 간 셈이다.

이처럼 1mm도 되지 않는 보잘 것 없는 보폭의 차 때문에 결과적으로 원이 그려지는 일이 벌어진다.