생활 속의 수학
56. 매듭 이론 |
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어린 시절 실뜨기 놀이를 해본 경험이 있을 것이다. 동서양을 막론하고 끈으로 매듭을 만들어 아름다운 장식을 만들거나 밧줄을 매듭으로 묶어 실생활에 사용한 것은 수학의 역사만큼이나 오래되었다. 수학적 대상으로서 매듭(knot)이란 보통의 매듭과는 달리 대롱대롱 매달린 줄의 끝 부분이 없는 그런 매듭이다. 수학적 매듭에서는 이런 줄의 끝 부분들이 연결되어서 하나의 꼬인 고리 모양을 이룬다. 매듭이론의 중심은 수많은 종류의 매듭들을 분류하는 것이다. 하나의 매듭을 끊지 않고 매끄럽게 움직여서 또 하나의 다른 매듭 모양으로 바꿀 수 있을 때 두 매듭은 같은 형태를 지닌다고 한다. 여러 가지 방법에 의해 매듭을 분류할 수 있겠으나 우선은 '엇갈림', 즉 두 줄이 서로 연결되지 않고 입체 교차로의 두 차도처럼 교차하는 부분이 몇 개인지에 따라 분류를 할 수 있다.
두 번째 그림은 두 종류의 세잎매듭을 보여주고 있다. 이들은 각각 세 개의 엇갈림을 가지고 있다. 언듯 보기에는 같은 매듭으로 보이지만 가위로 줄을 끊어내지 않고서는 아무리 애를 써도 하나를 다른 하나로 변형시킬 수 없다. 그리고 세잎매듭은 이 두 가지 형태만이 존재한다. 두 매듭은 서로를 거울에 비추어 보는 것과 같은 모습을 하고 있다. 세 번째 그림의 매듭은 8자 모양 매듭으로 불린다. 이 매듭의 특징은 거울에 비치는 모습도 똑같다는 것이다. 매듭이론은 어찌 보면 어린 아이들이 하는 실뜨기 놀이 같지만 수학의 여러 분야의 연구와 연관되어 있다. 또 DNA와 RNA의 구조 연구에 매듭이론이 자주 등장하고, 암호이론에의 응용 가능성 때문에 매듭이론을 정보 통신과 생명 과학 분야에서 사용할 수 있는 방법이 다양하게 모색되고 있다. 한번 생각해보자. 엇갈림이 5개인 매듭은 몇 개나 될까? |
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한라일보 2003년 02월 14일 |
첫
번째 그림은 영매듭이다. 엇갈린 부분은 몇 번의 간단한 실험만 해 보면
원모양의 고리로 바꿀 수 있다.