땅과 울타리

생활 속의 수학

62. 땅부자와 울타리 부자

옛날 옛적에 땅부자와 울타리부자가 살았다. 땅부자는 엄청나게 많은 땅을 가지고 있었지만 울타리가 약간 필요했고 울타리부자는 엄청나게 많은 울타리를 가지고 있었지만 땅이 조금 필요했다. 둘은 서로 공평하게 땅과 울타리를 맞바꾸기로 합의하고 공평해씨에게 도움을 청했다.

공평해씨는 이렇게 말했다. "우선 울타리부자가 울타리 100m를 가지고 땅부자의 땅 위에다 울타리를 치는 걸세(그림1). 그러면 그 울타리 안에 들어가는 모든 땅을 울타리 부자가 가지는 거야. 대신에 땅부자는 울타리 부자가 가진 땅과 똑같은 면적의 땅을 그리는 걸세(그림2). 그러면 그 둘레를 두를 수 있는 울타리를 울타리부자가 땅부자에게 주는 거야. 그러면 서로 공평하겠지?

두 사람은 그렇게 하기로 약속했다. 다음 날, 울타리부자는 정확하게 울타리 100m를 가지고 나타나 땅부자의 땅 위에다 울타리를 두르기 시작했다. 울타리부자는 처음에 길이 40m, 폭이 10m인 직사각형 모양의 울타리를 쳤다. "40×10, 그러니까 400㎡의 땅 둘레에다 울타리를 쳤군." 공평해씨가 말했다.
"다시 한 번 해 볼게요."라며 울타리부자는 이번에는 길이 25m, 폭 25m인 정사각형 모양의 울타리를 쳤다. "25×25, 625㎡의 땅 둘레에다 울타리를 쳤군. 이럴수가! 울타리의 길이가 같은 데도, 그 속에 들어가는 면적이 달리지다니." 땅부자가 중얼거렸다.
"한번만 더 해 볼께요." 울타리부자는 이번에는 완전한 원 모양으로 울타리를 쳤다.
"계산기가 필요하겠군. 음. 그러니까 그 원 안에 들어가는 면적은 795㎡야. 쉽게 800㎡라고 하세." 공평해씨가 계산을 해 주었다.

"자. 이제는 땅부자의 차례로군. 800㎡에 해당하는 땅을 표시하면, 그 둘레를 두를 수 있는 울타리를 울타리부자가 줄 걸세." 공평해씨가 말했다.
땅부자는 길이와 폭이 각각 20m, 40m인 직사각형 모양의 땅 위에다 표시를 했다.
"20×40=800이니까, 면적은 맞군. 20+20+40+40=120, 울타리 부자는 120m의 울타리를 땅부자에게 주면 되겠군." 공평해씨가 말했다.
"잠깐! 면적이 800㎡이기만 하면 모양은 어떻게 해도 상관이 없죠?" 땅부자는 이렇게 말하고, 땅 위에 새로운 모양을 그리기 시작했다. "자, 어때요? 10×80이니까 800㎡ 맞죠?"
"10+10+80+80, 아니! 울타리가 180m나 되잖아." 울타리부자가 중얼거렸다.
"잠깐! 한 번 더 해야 봐야겠어." 땅부자는 아주 멀리까지 갔다 오더니 폭이 아주 좁은 기다란 모양의 땅을 만들었다.
"1m×800m의 땅이로군, 이것 역시 면적이 800㎡야! 그런데 울타리가 1+1+800+800=1602m나 되." 공평해씨가 말하자 울타리부자가 울먹였다.

이 이야기는 면적과 둘레에 관한 이야기다. 둘레 길이가 한정돼 있을 때, 그 안에 최대한의 면적을 집어넣으려면 울타리부자처럼 원 모양으로 만들면 된다. 반면에 면적이 한정돼 있을 때는 땅부자처럼 둘레의 길이를 얼마든지 길게 할 수 있다.

처음부터 공평한 거래가 아니었다.

참고 : 수학이 또 수군수군, 샤르탄 포스키트, 이충호 옮김, 김영사, p104-110
한라일보 2003년 04월 04일