파라독스와 수학

생활 속의 수학

66. 파라독스와 수학

엄마가 갓난아기를 데리고 동물원에 갔다가 우리를 뛰쳐나온 호랑이에게 아기를 빼앗기는 황당한 사건이 일어났다. 그런데 잠시 후에 아기는 아무 일도 없었던 것처럼 조그만 상처도 없이 호랑이에게서 풀려났다. 어떻게 된 일인지 아기 엄마에게 물었다.

"그 때 호랑이 앞을 가로막고 아기를 살려달라고 빌었어요. 그랬더니 호랑이가 내게 '내가 아기를 잡아먹을지 안 잡아먹을지 알아맞히면 아기를 무사히 돌려주지'하고 말을 하는 거예요." 아기 엄마가 말했다. "그래서 호랑이에게 '너는 내 아기를 잡아먹고 말거야'라고 말했더니 호랑이가 곰곰이 생각하더니 아기를 돌려줬어요."

그럼 아기를 그냥 돌려보낸 호랑이의 말을 들어보자. "글세 어떻게 해야할지 정신이 없었어요. 내가 아기를 잡아먹으면 아기 엄마가 바로 맞힌 셈이니까 아기를 돌려주어야 하고, 내가 아기를 돌려주면, 아기 엄마가 못 알아맞힌 것이니까 내가 아기를 잡아먹어야 하고. 너무 골치가 아파서 아기를 돌려주고 말았어요. 아기 엄마가 내가 아기를 돌려줄 것이라고만 했어도 맛있는 식사를 할 수 있었을 텐데……."

이 이야기는 어떤가.

식인종에게 두 명이 잡혔다. 한 명은 수학 선생님이었고, 다른 한 명은 그 선생님의 학생이었다. 그들이 타고 가던 배가 폭풍을 만나 난파되었는데 식인종에게 잡혀 죽게 되었다. 그러나 식인종들은 마지막 소원을 들어 주는 관습에 따라서 살려 달라는 소원을 제외하고는 그들의 소원을 한가지씩 들어 주기로 하였다.

먼저, 수학 선생님에게 소원이 무엇인지를 물었다. 그러자, '나의 마지막 소원은 제자인 저 학생에게 마지막으로 수학 수업을 하는 것입니다.' 라고 했다. 식인종들은 그 소원을 들어주기로 하였다. 그리고 학생에게로 가서 마지막 소원을 물었다. 학생은 잠시 생각에 빠지더니 '나의 마지막 소원은 선생님이 수학 수업을 하기 전에 잡아먹히는 것입니다.'라고 했다. 식인종들은 학생의 소원도 들어 주어야만 했으므로 고민에 빠졌다. 선생님의 소원을 들어주려면 학생에게 수학 수업을 듣게 해야 하고, 학생의 소원을 들어주려면 수업하기 전에 죽여야 했기 때문이다. 결국 그들을 죽일 수 없었다.

이런 이야기들을 '논리적 역설 또는 파라독스'라고 한다. 파라독스는 상식을 벗어난 수학적 결과를 말한다. 그냥 스쳐 지나가게 되면 단지 우스운 이야기 거리에 지나지 않겠지만 여기에는 논리와 수학적 사고의 중요한 단서가 숨겨져 있다.

곰곰이 생각해보면 이러한 모순투성이 일들이 일상 생활에서 자주 생긴다.

아침 식사를 하다가, 엄마는 아이들에게 '너희 아빠는 거짓말장이야'라고 말했다. 아빠는 웃으며 '네 엄마 말은 사실이란다'라고 말했다. 잠시 생각해보자. 만일 엄마가 말한 것이 사실이라면 아빠 말은 거짓말이 된다. 하지만 아빠 말이 거짓말이라면 엄마의 말은 사실이 아니다. 엄마의 말이 사실이 아니기 때문에 아빠 말은 거짓말이 아니다. 그래서 아빠 말은 거짓말이 되기도 하고 거짓말이 아니기도 하다. 뭐가 뭔지?

'이 문장은 거짓이다.' 과연 이 문장은 참일까? 거짓일까?

참고 : 이야기 파라독스 , 마틴 가드너, 사계절
한라일보 2003년 05월 02일