수학교과실 펜로즈 타일링 벽화그리기
수학교과실 뒤의 벽에 수학 벽화를 그릴 생각을 했다. 이미 한두 번 그려본 경험도 있고, 무엇보다 이 교실에 들어오는 아이들에게 향기로운 수학의 냄새를 맡게 해 주고 싶었다. 딱히 그런 것은 아니지만 내년에 수학교과실이 위험에 처했을 때, 수학교과실을 지켜낼 좋은 구실이 될 수도 있다는 생각을 했다.
여기서부터 2008년 10월 13일부터 아이들과 함께 한 '수학교과실 펜로즈 타일링 벽화 그리기' 이야기이다.
교실 뒷면의 벽이다. 수학교과실의 느낌이 별로 없다. 수학의 느낌이 나는 벽을 만들어보고 싶다. 벽에 그릴 그림은 예전부터 생각해 두고 있었다. 펜로즈 타일링. 두 개의 마름모로 만들어지는 펜로즈의 비주기적 타일 그림이다. 기본 준비는 적당한 크기의 마름모 두 개만 만들면 끝이다. 색은 느낌이 비슷한 세 가지 색을 만들기로 했다. 이 벽화는 오래 걸리더라도 많은 아이들을 참여시키고 싶었다. 그 아이들이 이 교실의 실제 주인이니까 말이다.
1. 준비물
- 2개의 마름모 : 마름모의 한 변의 길이는 19cm이다. 더 길거나 더 짧아도 관계없다. GSP에서 그리고 가능한 크게 프린트를 했더니 변의 길이가 19cm가 된 것이다. 처음 마름모의 두 각은 72°와 108°이고, 두 번째 마름모는 36°와 144°이다.
- 세 종류의 페인트는 도마뱀과 나비 테셀레이션을 하면서 남은 페인트에 흰색을 조금 더 섞어 옅게 만들었다. 또 서로 색을 조절하면서 페인트를 섞어 만들었기 때문에 이름을 뭐라고 해야 될지 모르겠다. 페인트는 500ml 생수통에 담았다.
- 평붓 : 수성페이트용 평붓 1호 4개(132붓) 1개에 4000원 (더 있어도 좋겠다.)
- 접시 : 1100원에 10장하는 일회용 접시, 일회용이 아니라 끝날 때 까지 수십번 사용하게 될 것이다.
- 깔데기 : 1개에 800원, 페인트를 섞은 후 페트병에 물감을 담을 때 아주 편리하다.
2. 테두리 그리기
2008.10.13. 처음에 연필로 벽에 그리는 밑그림, 펜로즈 타일링 그림은 나 혼자 그리기로 했다. 잘하느라고 했지만 틈히 한참 벌어졌다. 또 모양도 맞지 않았다. 지우개로 지우다가 힘들어서 사선을 그었다. 이건 쉽지 않았다. 색칠하는 것보다 이것이 어렵다. 이것만 그리는데도 2일이나 걸렸다. 물론 나 혼자 했기 때문이다.
2008.10.15. 뭘 알아야 아이들에게도 시킬 수 있다. 아직은 아무것도 모르기 때문에 먼저 칠해 보았다. 접시에 물감을 아주 조금 따르고, 넓은 평붓으로 살짝 칠을 한다. 조심스럽게 테두리를 먼저 칠하고 속안은 나중에 채워나갔다. 여러 개 칠했다. 아이들이 그림을 보고 신기하다고 말한다. "선생님. 이거 튀어 나올 수도 있고, 들어 갈 수도 있는거죠?" 정육면체를 보고 말하는 이야기다." "선생님~. 이 그림 착시죠?" 어디서 본 모양이다. "어~. 이것도 정육면체. 오~. 이것도 정육면체. 두 개가 겹쳐져 있네. 신기하다. 와" 아이들이 한마디씩 거든다.
3. 색칠하기
2008.10.16. "얘들아. 저기 교실 뒤에 그림을 봐. 펜로즈 타일링이라고 하는 그림이야."
그림을 그릴 아이들을 모집해야 했다. 수업이 끝날 때쯤해서 아이들에게 팬로즈 타일링에 대해 간단히 설명했다.
"칠판에 펜로즈 타일링 그림이 붙여져 있어. 나중에 확인해 봐."
"그리고, 점심시간이나 수업이 끝나고 벽화 그림 그리고 싶은 사람은 나에게 신청해라."
생각해보니 오후에는 시간이 없다. 아이들 청소지도, 상담, 생활지도, 특별보충지도를 해야 한다. 정말 정신이 없다.
"아니 잠깐, 점심 시간에만 그리자. 한 사람이 정육면체 하나 정도 그리면 되는 거야. 오늘 점심시간부터 시작한다. 휴~" 수업이 끝나자마자 6명 정도의 아이들이 그림 그리고 싶다고 신청을 했다.
점심을 먹자 마자 아이들이 부리나케 달려왔다. 접시에 물감을 조금씩 덜어 주었다.
"선생님 더 주세요. 많이 그릴 거예요." "욕심부리지 말고 그리세요.^^ 물감이 더 필요하면 줄께요."
"자~. 여기 봐라. 그림을 그릴 때는 테두리를 먼저 그리는 거야. 안쪽은 테두리를 다 그리고 채워 넣으면 돼. 될 수 있는 한 한쪽 방향으로 이~렇게 칠하는 거야. 할 수 있겠지. 옷에 물감이 묻지 않도록 조심 조심 그려야 한다." 먼저 시범을 보여주고 주의사항도 일러 준다.
"예~." 아이들이 잔뜩 기대에 찬 목소리로 대답한다. "난, 잘 못할 것 같아." 걱정 섞인 목소리도 들린다.^^
그나저나 붓질하는 방법은 제대로 가르쳐 줬는지 모르겠다. 미술 선생님께 여쭤봐야겠다.
벽화를 그릴 때, 아이들의 이야기를 듣는 것은 참 재미있다. 아이들도 그림을 그릴 때는 집중한다. 그러면서 요즘 일어나고 있는 일들에 대하여 말을 한다. 내가 궁금한 것을 질문하면 마음의 빗장을 풀고 누군가가 다 말해준다. 가끔씩 내가 선생님이란 것을 잊고 눈치없이 이야기를 한 아이는 다른 아이들에게 핀잔을 듣는다. "야~. 그건 말하면 안되지." 나는 웃으며 말한다. "괞찮아~. 나만 알고 있을께." 언제 아이들과 이런 저런 이야기를 할 수 있을까? 이런 때가 아니면.....
아이들이 어디에 어떤 색을 칠해야 할 지 모르겠다고 했다. 그래서 사각형 안에 칠할 색들을 모두 콕콕 찍어두었다.
2008.10.18. 토요일. 어제와 그제. 아이들이 그린 그림은 여기까지이다. 과연 어떤 모습의 벽이 만들어질까 궁금하다.^^
2008.10.24. 점심 시간이다. 오늘도 아이들이 점심먹고 와서 벽화를 그리고 있다.
"선생님~. 저 오늘 세 개 그렸어요. 많이 그렸죠?" "앗. 선생님. 물감이 선 밖으로 삐져 나왔어요. 어떻해요."
"선생님. 물감이 남았는데 어떡하죠. 수업 시작종 울렸는데~. 앗! 체육시간. 체육복~! 선생님 내일도 올께요. 죄송해요."
그리던 물감과 붓을 바닥에 내려놓고 쨉싸게 내려간다. 내일 다시 오겠다는 말은 빼뜨리지 않는다.
이 펜로즈 타일링 벽화가 앞의 두 벽화보다 훨씬 그리기 어렵다. 직선 처리를 하려면 훨씬 꼼꼼하게 칠해야 하기 때문이다. 대강하면 선이 바로 비뚤어져 보인다. 선이 비뚤어져 있으면 바로 옆에 아이들이 똑바로 하라고 핀잔을 준다. 그래서 진도가 빨리 나갈 수 없다.
이런 것은 시험에 나오지 않는 것들이다. 하지만 바로 이것이 교육이 아닐까 감히 생각한다. 여러 명이 하나의 일을 하면서 같이 발견하고, 서로 이야기하면서 주고 받는다. 자신의 부족한 점은 잘 하는 다른 사람의 모습을 보며 배우고, 자기가 잘하는 것은 다른 사람에게 가르쳐준다. 자신에게 주어진 일을 소홀히 하면 전체가 흐트러질 수 있다는 것을 몸과 마음으로 느끼며 책임을 배운다. 배운다는 것은 사회적이고, 감성적이며 서로의 상호작용을 통해 완성되어져 가는 것일 것이다.
나는 아이들이 손이 닿지 않는 윗부분을 칠한다. 때로는 의자를 놓고 때론 책상을 놓고 올라가 칠한다.
4. 마무리
2008.10.30. 그동안 꽤나 많이 그렸다. 점심 시간 마다 서너명의 아이들이 와서 벽화를 그렸다. 오늘은 갑자기 너무 더디다는 생각이 들었다. 정규 수업이 끝나고 독서 시간이다. 아이들이 오랜만에 자리를 바꾸자고 했다. 자리를 바꾸고 책을 읽기 시작했다. 읽을 책이 없다는 아이들이 있다. 잘 되었다. 벽화 그릴 사람을 모집했다.
"책이 잘 읽혀지지 않는 사람 중 수학교과실 벽화 그릴 사람은 지금 수학교과실로 올라와라."
8명의 아이들이 올라왔다. 지금까지 벽화를 그려보지 않은 아이들이다. 미리 그려진 그림을 보면서 설명을 했다. 휴~. 설명을 하기도 전에 이미 그리고 있었다. 사람 수의 힘은 역시 대단하다. 한꺼번에 벽이 거의 차 버린 느낌이다.
그림을 그리는 아이들을 보면 성격이 보인다. 정말 꼼꼼하게 집중해서 그림을 그리는 아이는 마름모 하나를 칠하는 데도 10분 이상이 걸린다. 그런데 10분 동안 열 개를 칠하는 녀석도 있다. 대강대강이다. 테두리는 아예 잘 그리지도 않았다. 저건 나의 일이다. 빨리 그리다보니 다른 아이가 그려놓은 그림 위로 붓이 쓱 지나간다. 아휴, 저걸 그냥~. 좀 잘 해 주라.
붓을 눕혀서 조심조심 칠을 하는 아이도 있지만 붓을 바짝 세워서 벽에 마구 비벼대는 녀석도 있다.
"그렇게 색칠하면 안된다고 그랬잖아. 색도 칠해지지 않고, 붓도 다 망가져. 옆을 봐라. 눕혀서 칠하라고."
그래도 꿋꿋하게 말을 듣지 않는다. 입만 아프다. '그래, 마음대로 해라. 나중에 좀 고치지 뭐.' 생각을 바꾸었다.
"선생님. 물감이 쭉 흘렀어요." 나에게 뭘 어쩌라고.
"그래. 괜찮아. 나중에 고치면 되. 조금만 더 신경써서 그려라. 알겠지"
그래도 아이들이 벽화를 그리는 모습을 보면 도대체 이런 집중력은 어디서 나오는 걸까하는 생각이 든다. 장난을 하면서도 벽을 뚫어 버릴 것 같은 저 눈빛들을 보면 참 기분이 좋다. 누가 재미있는 이야기를 했는지 모두 깔깔거린다.
잘 그린 자신이 대견해서 한 번 웃는다. 잘 그린 친구의 그림을 보면서 부러워 하고, 실수인지 실력인지 제대로 그리지 못한 자기의 그림을 보면서도 웃는다.
벽화는 다 되어가고 있는데, 오늘 저녁은 피곤하다. 우리반 학생은 36명이다. 그래서 36개의 우주가 우리 반에 있다. 내일은 완성을 시킬 생각이다. 뜻대로 될지 모르겠지만 얼마 남지 않았다. 다시 한번 부탁해야겠다.
2008.11.1. 드디어 벽화를 완성했다. 어제. 그러니까 10월 31일 점심시간에 아이들이 한꺼번에 몰려들었다. 그동안 그렸던 아이들과 어제 벽화를 그렸던 아이들까지 와서 오늘은 끝을 낼 작정인가 보다. 한 10명이 동시에 마름모를 한 두 개씩 칠했다. 순식간에 끝이 났다. 좀 허무하기도 했다. 하지만 마무리가 남았다. 직선들이다보니 가까이서 보면 비뚤어진 선들이 한 둘이 아니다. 오늘 2시간을 투자해서 물감이 튀어나온 부분과 색이 옅은 부분은 덧칠해서 바로잡았다.
손으로 해보고, 눈으로 관찰하고, 서로 토론하고, 직접 경험하고, 읽어보고, 배운 것을 글로 써보고, 또 쓴 글을 다른 학생에게 설명하고 가르쳐주는 과정이 중요하다고 생각한다. 이렇게 하다보면 전정 마음으로 좋아하고 스스로 배우고 싶은 동기가 자연스럽게 생겨나는 것이 아닌가 생각한다.
하지만 솔직히 슬프게도 가끔씩 이런 것들이 아이들에게 도움이 될까 의구심이 든기도 한다. 아이들과 많은 어른들은 수학에는 문제를 푸는 것 이외에는 다른 것이 없는 것으로 생각한다. 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기만 알면 되지 뭣하러 수학을 공부하느냐는 사람들도 많다. 학원에도 보내고 그렇게 수학이 중요하다고 강조하면서도 수학을 공부해야하는 이유를 모른다. 수학이 우리의 삶에서 매우 중요한 역할을 하고 있는데도 불구하고 많은 사람들이 알지도 못하고 알려고도 하지 않는다. 테셀레이션 벽화를 그리고 그 의미를 생각해보는 것은 수학이 아니라고 생각한다. 그저 '어, 저것 좀 신기하네.' 그 정도다. 수학을 이야기하다 보면 자주 아주 견고하고 커다란 차가운 벽을 느끼곤 한다. 학교의 현실이 그렇다.
수업시간에 아이들에게 테셀레이션과 펜로즈 타일링에 대해서 이야기를 했다. 알아들었을까? 중학교 1학년들인데....
막연히 믿음을 가져야 하는 것일까? 학교에는 나와 아이들의 모습을 보면서 '뭘 그리는 거예요?' 질문하는 아이들도 있고, '선생님 예뻐요'라고 말하는 아이들도 있다. 그리고 뭘 하든지 말든지 아무 관심이 없는 아이들도 뒤섞여 있다.
그나저나 교실이 조금 따뜻해진 느낌이다. 노란색을 써서 그런 것 같다. 또 벽이 앞으로 다가온 느낌이 드는지 교실이 작아진 것 같다. 애정을 쏟은 까닭일 것이다. 멀리 있던 벽이 그림을 그리는 동안 나와 가까워져서 친해졌다. 어린왕자와 여우처럼 나와 벽이 펜로즈 타일링 때문에 서로 길들여진 것이다. 벽화를 그린 아이들과도 그랬으면 좋겠다.
아이들이 벽화를 그리면서 느꼈던 느낌과 기억들이 어른으로 자라면서 수학을 가치에 대해 생각할 수 있는 즐거운 기회가 되었으면 좋겠다. 그렇다면 나는 아이들에게 잊지 못한 보이지 않은 선물을 하게 된 것이다.
옆으로 치워두었던 피타고라스의 의자를 가져왔다. 다음 주부터 아이들이 저 의자에 앉아 떠들어 댈 것이다. 요즘 공기놀이가 유행인데 의자 위에서 공기를 할지도 모르겠다.
가까이서 본 펜로즈 타일링 벽화다. 처음에는 테두리를 칠 할 생각이었지만 가늘고 곧고 일정하게 그릴 자신이 없다. 선이 없어도 예쁘다. 만족한다. 붓과 접시를 깨끗하게 씻었다. 색깔 별로 3개의 컵을 준비했고, 컵에는 물을 반쯤 채우고 붓을 담가 두었다. 큰 컵에도 역시 물을 채워 쓰지 않는 붓들을 담았다. 벽화를 끝내고 보니 사용한 물감은 작은 생수병 하나씩 정도밖에 들지 않았다. 올해의 프로젝트는 이제 끝이다. 내년에도 다시 벽화를 그릴까? 모르겠다. 와~ 끝났다.^^
5. 펜로즈 타일링
특이한 형태의 타일링인 펜로즈 타일링은, 1974년, 영국의 옥스포드 대학 수학과 교수인 로저 펜로즈 Roger Penrose (오른쪽 사진)에 의해 발견되었다. 이 타일링은, 반복되는 것 같지만 반복되지 않는 특이한 형태를 갖고 있다. 펜로즈 타일링에서는, 부분적으로 일정한 패턴을 찾을 수는 있지만 전체적으로 반복되는 패턴은 존재하지 않는다. 이렇게 부분적으로는 반복되지만, 전체적으로는 반복되지 않는 타일링 형태를 비(준)주기적(Quasiperiodic) 구조라고 한다.
처음 발표된 펜로즈 P1 타일링은 6 개의 기본 타일로 구성되어
있었지만, 이후의 P2, P3 타일링에서는 기본 타일의 수를 2 개까지 줄였다. 아래 그림은 P2 펜로즈 타일링으로 이 두 개의 특별한 타일을 이용하여 문양을 만든다. 각 타일에는 두 개의 검은 점이 그려져 있는데, 타일들이 어떤 규칙적인 패턴으로 늘어서는 것을 방지하기 위해 점이 박힌 모서리는 점이 박힌 모서리와만 닿도록 타일을 놓아야 한다는 규칙을 만들었다. 
왼쪽의 큰 타일을 연(kite), 오른쪽의 작은 타일은 화살-다트(dart)라고 부르는데 그가 만든 문양을 통해 놀라운 수학적 속성이 드러났다.
첫째, 유한한 숫자의 ‘연’과 ‘다트’ 모양으로 이뤄진 그 문양은 어떤 부위도 더 작은 ‘연’과 ‘다트’로 이뤄진 문양으로 무한히
쪼개지지만 결코 같은 패턴이 반복되지 않는다는 것이다. '타일링이 모두 비주기적'이라는 뜻이다. '주기적'의 뜻은 일부분을 회전시키지 않고 반복하여 전체를 만들어 낼 수 있는 것으로, 주기적인 반복으로 전체 패턴을 만들 수 있는 어떤 작은 (하나 이상의 타일로 이루어질 수도 있는) 부분이 있다는 말이다. 결국, 펜로즈 타일링에는 반복에 의해 전체 패턴을 만들 수 있는 어떤 작은 패턴은 없다는 말이다. 또 펜로즈는 연과 화살 타일을 이용하여 평면을 덮는 방법은 무한히 많다는 것을 증명했다.
펜로즈의 타일링을 계속 따라가다 보면, 그의 타일로 만들 수 있는 모든 유한한 패턴을 무작위로 만나게 된다. 아래 그림에서 왼쪽 그림은 P2 펜로즈 타일링의 일부이고, 오른쪽 그림은 P2 펜로즈 타일링 위에 P3 펜로즈 타일링을 얹어놓은 것이다. P3 펜로즈 타일링 역시 두 가지의 간단한 타일 형태(36도와 72도 각도에 바탕을 둔)가 어떤 이유에서인지는 알 수 없지만 무한한 평면을 하나의 비주기적 패턴으로 채우고 있다.
둘째, 펜로즈 타일링에선 타일로 평면을 더 많이 채우면 채울수록 ‘연’과 ‘다트’의 비율이
황금비율(1.618033989…)에 근접한다. 이는 펜로즈 타일링의 두드러진 특징으로 재래식 타일링과
동등한 '균일성'이 존재한다는 점이다. 이것은 패턴이 있는 일반 타일링에서야 당연한 얘기지만,
펜로즈의 경우 비주기적인 구조로 평행이동에 대한 대칭이 전혀 없다는 점을 고려하면 매우 독특한 성질이라 할
수 있다.
펜로즈 타일을 조합하는 것은 생각보다 어렵다. 규칙에 맞도록 타일을 더 놓을 수 없게 되는 상황도 자주 발행하는데, 그러면 타일을 놓은 순서와 반대로 마지막 10개 정도의 타일을 없앤 뒤 다시 시작해야 한다.
팬로즈 타일링의 놀랄만한 교훈은 간단한 규칙과 성분만으로도 필연적으로 복잡하고 광대한 전체가 만들어질 수 있다는 것이다. 팬로즈 교수의 주된 연구는 상대성 이론과 양자 역학, 초기 블랙 홀이었다. 이것을 보면 팬로즈 교수는 우리의 우주가 어떻게 만들어졌는가에 대한 일종의 모형적 역할을 설명하기 위해 펜로즈 타일링의 패턴을 연구했을 수도 있다. 우리의 우주가 어떤 심호한 단계에서 아주 간단한 몇 개의 성분들이 몇 가지의 특정한 방식만으로 연결되어 이루어진 것이라는 사실은 충분히 설득력 있다.
펜로즈 타일링이 세인의 관심을 끌게 된 것은 1984년에 이르러서다. X선 회절(回折, Diffraction) 패턴을 이용하여 광물질 결정을 연구하던 과학자들은, 비(非)주기성 구조를 갖는 새로운 형태를 1984년에 발견하였고, 준주기적 타일링 구조와의 유사성 때문에 준(準)결정체(Quasicrystal)이라고 이름짓게 된다. 준결정체의 구조를 이해하기 위하여 과학자들은 펜로즈 타일링을 연구하고 있다.
참고 : 사고혁명, 루디러커, 김량국 옮김, 열린책들,
http://www.abc.net.au/quantum/stories/Sir_Roger_Penrose_m86801.jpg
http://cafe.naver.com/believers/358
http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Penrose-tiles-bump-and-color-coded.svg
Rhombus tiling (P3)
From Wikipedia, the free encyclopedia
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7e/Pen0305c.gif
Penrose Rhombus Tiling
http://www.itap.physik.uni-stuttgart.de/~gaehler/tilings/pen.gif
http://ww2.lafayette.edu/~reiterc/misc_frac/penrose.gif 중 일부
