멩거 스폰지

멩거 스폰지 ( Menger sponse ) -1

2000년 제주 중앙 여자 중학교 학생들이 만든 멩거 스폰지를 소개하고자 한다.

시에르핀스키 양탄자

시에르핀스키 삼각형을 만드는 과정과 똑같은 과정이 정사각형에 적용될 수 있다.

무한히 좀 벌레가 먹은 것 같은 시에르핀스키 양탄자를 만들려면 첫 단계에 정사각형의 한 변을 세 부분으로 나누어 9조각의 창살을 만들고 가운데 사각형을 빼내면 된다. 이 도형의 프랙탈 차원은 1og8 / log3 = 1.8928...으로서 이는 이 도형이 실제의 양탄자보다 울퉁불퉁한 곡선에 더 가깝다는 것을 나타낸다.

멩거 스폰지

똑같은 조작을 3차원에서도 할 수 있다. 정육면체로 시작해서 그 것을 27개의 작은 정육면체로 나누고 중앙의 정육면체와 함께 처음 정육면체의 각 면의 중앙에 있는 정육면체를 빼내는 조작을 단계별로 해가면 맹거 스폰지 Menger sponge 라고 불리는 진기한 도형을 얻게 된다. 이 도형의 각 구멍을 감싸는 표면적의 총합은 유한하지만, 전체 부피는 사라진다. 코흐 곡선과 마찬가지로 이 스펀지 역시 극한으로만 있을 수 있다. 이 도형의 차원은 2보다 3에 가깞기 때문에, 멩거 스폰지는 매끄러운 곡선이라기 보다는 입체이다. (참고: 현대 수학의 여행자. 이바스 피터슨. 사이언스 북스)

미리 준비해야 할 것

1. 잘 씻은 우유팩 10,000개 이상 2. 가위, 자, 칼, 종이 테이프
3. 목공용풀(상당히 중요함) 4. 마커, 칼라펜 또는 크레용
5. 완성된 0단계, 1단계의 멩거 스폰지 (미리 만들어 보여주는 것이 훨씬 좋다)

계획한 멩거 스폰지를 만들기 위해서는 필요한 것보다 더 많은 충분한 수의 정육면체가 필요하다. 잘못 자를 수도 있고 풀칠을 잘못하여 이상한 모양의 정육면체가 나올 수도 있기 때문이다. 우리는 우유팩을 이용하여 멩거 스폰지를 만드려고 한다. 한 단계가 진행되려면 전 단계의 20배의 우유팩이 필요하므로, 3단계까지 쌓으려면 8,000의 완성된 정육면체의 우유팩이 필요하다. 우유 급식을 하는 주변 초등학교에 부탁하여 충분한 수의 우유팩을 마련했다. 오른쪽 표는 각 단계에서 필요한 정육면체의 수를 보여준다. 멩거 스폰지의 가로와 세로, 높이는 모두 같다.

0단계 멩거 스폰지

이 단계는 전체 과정 중에서 가장 중요한 단계이다. 멩거 스폰지를 만들기 전에 우리가 무엇을 할 것인지 설명하고, 특히 이 과정의 중요함을 강조해야 한다. 마지막 단계까지 쌓아올리려면 모든 정육면체가 완벽해야 한다. 정육면체의 모서리는 서로 수직이어야 하고, 길이는 모두 같아야 한다. 만들어진 모든 정육면체는 반드시 검사를 거쳐야 한다. 이 검사를 통과한 정육면체들만이 더 큰 멩거 스폰지의 일부가 될 수 있다. 이 검사를 통과하지 못한 정육면체는 과감히 뭉개 버린다.


1. 우유팩을 준비한다.	2. 우유팩의 밑변의 길이와 같은 7cm인 자를 만든다.	3. 자를 이용하여 모서리의 높이가 7cm가 되는 곳에 직 선을 긋는다.	4. 입구에서 선이 그어진 곳까 지 4곳을 정확히 자른다.

5. 날개의 길이가 대략 2~2.5cm가 되게 자른다.	6. 한쪽 방향으로 모서리가 직선이 되도록 정확하게 접 는다.	7. 한 변의 길이가 7cm인 정 육면체가 되었는지 검사한 다.	8. 완성된 0단계 맹거 스폰지

1단계 멩거 스폰지

0단계에서 만든 정육면체를 모두 한 곳에 모아 놓은다. 첫 번째로 0단계 정육면체 20개를 가지고 가운데가 비어있는 다른 멩거 스폰지를 만들어야 한다. 낮은 단계의 스폰지 조립일수록 깔끔하고 단정해야 한다. 반드시 면들이 고르게 연결되어 바닥에 내려 놓았을 때 흔들거리지 않아야 한다. 문제는 이것들을 연결하는 가장 좋은 방법을 찾아내는 것이다. 인내심이 필요한 단계이다.


1. 우유팩을 준비한다.	2. 접어진 방향이 같은 2개의 우유팩의 윗부분을 돌려서 서로 끼운다.	3. 이런 모양의 우유팩을 8쌍 만든다. 모서리가 직선이 되 어야 한다.	4. 4쌍의 우유팩을 그림과 같 이 놓고, 그 사이에 목공용 풀을 넣고 붙인다.

5. 모양이 흐트러지지 않게 종 이 테이프를 붙여, 하루를 말 린다. (2개 만든다)	6. 4개의 기둥을 세우고 위와 아래에 풀을 넣고 붙인다.	7. 역시 종이 테이프를 붙여 마무리를 하는데 모서리가 직선이 되어야 한다.	8. 하루를 말리면 1단계의 멩 거 스폰지가 완성된다.

2단계 멩거 스폰지

여기서는 1단계 멩거 스폰지 20개를 가지고 가운데가 비어있는 또 다른 멩거 스폰지를 만든다. 방법은 1단계 멩거 스폰지를 만드는 방법과 똑같다(자기 유사성). 2단계에서 필요한 0단계 멩거 스폰지(정육면체)의 개수는 400개이다. 2단계의 멩거 스폰지는 아마 두 손으로 들어서 이동시킬 수 있는 마지막 단계일 것이다.

2단계가 완성되면 학생들에게 실제적인 멩거 스폰지에 대하여 생각할 시간을 주어야 한다.
  실제적인 멩거 스폰지는 우리가 만들고 있는 과정 즉,
  작은 정육면체들이 모여 속이 빈 큰 정육면체를 만들고, 또 그 정육면체들이 모여서 더 큰 정육면체를 만드는 과정에서 생기는 형태가 아니다.
  멩거 스폰지는 처음에 주어진 정육면체의 각 면을 9등분하여(두부 자르듯 잘랐을 때) 생기는 작은 27개의 정육면체들에서 중앙의 정육면체와 함께 처음 정육면체의 각 면의 중앙에 있는 정육면체를 제거하는 과정을 무한히 반복했을 때 생기는 프렉탈 형태의 입체도형이다.
  즉, 우리는 정반대로의 과정으로 멩거 스폰지를 만들고 있는 것이다.
그렇지만, 이러한 방법으로 멩거 스폰지를 만드는 것이 훨씬 편리하다.

3단계 멩거 스폰지

제주중앙여자중학교 학생만으로는 이 멩거스폰지를 완성할 수 없었다.
그래서 제주제일중학교, 제주중앙중학교 학생들과 협동해서 2000년 9월부터 11월까지 3개월 동안 만들었다.
아마 우유팩이 1만 2,000개는 들었을 것이다.
완성된 멩거스폰지를 다른 학교에 전시하기 위해 용달차 2대가 필요했다.