멩거 스폰지

멩거 스펀지 ( Menger sponse ) -2

2009년 새로운 '멩거 스펀지 만들기'를 시작하려고 한다. 이번에는 명함을 이용해서 멩거 스펀지를 만들어볼 생각이다.
2000년에 우유팩을 이용하여 만들었던 멩거 스펀지는 훌륭했다. 그러나, 1만 개 이상 되는 우유팩을 모으기도 어려웠고, 우유팩을 씻고, 말리는 일도 대단히 번거로웠다. 무엇보다 완성된 멩거 스펀지를 보관할 곳이 마땅히 없어서 마음이 무척 불편했었다. 그래서 이번에는 명함과 같은 카드를 이용해서 분해할 수 있는 멩거 스펀지를 만들려고 한다. 물론 멩거 스펀지 만들기는 이미 누군가 시도했던 것이다. 하지만 그것은 혼자서 한 일이고, 나는 많은 학생들이 참여해서 만들게 하고 싶다. 초등학생, 중학생, 고등학생, 대학생. 각자에게 맞는 일들이 있을 것이다. 이 작업은 나에게 새로운 일이고 언제나 새로운 시도는 필요하다고 생각한다. (참고 : http://mengermania.c82.net/instructions.php )

필요한 재료 : 유닛 가로 11cm, 세로 7cm 인 유닛(인쇄소에서 만들었음)
2009년 수학축제를 준비하면서 멩거 스펀지를 만들 생각을 했다. 축제를 빛낼 커다란 구조물이 있었으면 좋을 것 같았다.
많은 학생들이 참여할 수 있는 것, 학교에서만 할 수 있는 것, 정성과 사랑이 담겨있는 것, 약간은 어려운 것, 그리고 수학적인 것. 멩거 스펀지가 생각났다. 제주를 상징하는 귤을 나타내는 색, 제주의 신비한 바다를 나타내는 색, 제주의 푸른 나무를 나타내는 색의 3가지 카드를 만들었다. 수학축제의 주제인 수학의 힘, '세상을 변화시키는 힘!!' 과 시에르핀스키 양탄자를 그렸다. 유닛은 가운데 정사각형(7×7)과 양쪽 날개로 이루어졌다.

단계	정육면체	유닛 수	덮개 수	합계
0	1	6	6	12
1	20	120	72	192
2	400	2,400	1,056	3,456
3	8,000	48,000	18,048	66,048
4	160,000	960,000	336,384	1,296,384
5	3,200,000	19,200,000	6,531,072	25,731,072

각각의 정육면체는 6~10개의 유닛으로 만들어진다. 기본 정육면체를 만드는 데 최소 6개의 유닛이 필요하다. 그러나 멩거 스펀지 속에 정육면체가 어디에 위치하는냐에 따라 그 개수는 달라진다. 최대 4개의 카드가 더 필요하다.
정육면체를 조립하는 것은 까다롭다. 하지만 몇 번 연습하면 쉬워진다. 아래의 그림은 정육면체를 만드는 방법을 순서대로 나타낸 것이다.

정육면체 만들기 ( 0단계 멩거 스펀지 )

1번 유닛의 날개의 양쪽을 아주 조금 가위로 자른다. 충분히 잘라서 많이 모아 둔다.

(주의) 멩거 스펀지의 완성도는 유닛의 날개를 어떻게 자르느냐에 달려 있다. 처음 그림을 보자. 빨간색 화살표가 가리키는 점선에서 가위질이 시작되어야 한다. 아주 조금 잘라냈다. 반드시 이렇게 잘라내야 한다. 두 번째 그림은 날개를 잘라내지 않은 유닛이다. 이런 유닛으로 멩거 스펀지를 만들면 면이 부풀어 오르고, 만들기도 대단히 어렵다. 종종 날개를 끼우다 종이가 찢어지는 경우가 생긴다. 세 번째 그림은 날개를 너무 많이 잘랐다. 아이들은 가위질이 서툴러서 대부분 이렇게 자른다. 절대 안된다. 이 유닛으로 멩거 스펀지를 만들면 전체적으로 힘이 없다. 유닛들이 서로 물리지가 않아서 날개가 쉽게 빠져 버려 무너진다. 네 번째 그림의 위쪽은 가위질이 점선에서 시작되지 않았다. 이것은 가위질을 했지만 가위질을 하지 않은 것이나 마찬가지다. 아래쪽 부분은 가위질이 너무 점선 위쪽에서 시작되어서 세 번째 유닛처럼 힘이 없게 된다.

(1) 1번 유닛의 날개를 안쪽으로 접고, 접힌 부분이 위를 향하도록 놓는다. (2) 1번 유닛의 양쪽 두 날개 사이에 2번과 3번 유닛의 날개를 하나씩 끼워 넣는다. 전체적인 모양이 U자가 된다.

(3) 1번 유닛의 날개는 확실하게 접고, 4번 유닛을 1번 유닛 위에 놓는다. 4번 유닛의 날개는 1번 유닛의 날개 역할을 대신한다. (4) 5번 유닛을 2번, 3번 유닛의 뒤쪽에 끼워 넣는다. 이 때, 5번 유닛은 2, 3번 유닛을 껴안은 모양이 된다.

(5) 6번 유닛을 5번 유닛처럼 2, 3번 유닛의 앞쪽에 끼워 넣는다. 위가 터진 박스 모양이 된다. (6) 손으로 5, 6번 유닛의 양 옆을 살짝 눌러 고정시킨 후, 2번과 3번의 유닛의 위쪽 날개를 벌려 7번 유닛을 그 사이에 끼워 넣는다.

(7) 정육면체가 완성되면 정육면체의 한쪽 면(바닥)은 덮개가 씌워진 면이 되어 평평하고, 다른 5개의 면들은 2개의 날개를 가지고 있게 된다. 이 날개들을 접으면 다른 유닛들과 서로 맞물려 안정된 모양을 만든다. 날개를 접지 않고 세워 놔두면 유닛들이 쉽게 떨어져 분해가 되 버린다.
앞으로 이 과정이 계속 반복된다. 과정이 반복되면서 서로 얽히고 섞이면서 멩거 스펀지는 점점 커져간다.

덮개 씌우기

1단계 멩거 스펀지로 가기 전에 정육면체의 6개의 면 중에서 3개의 면을 덮개로 씌우겠다.
이미 바닥이었던 한 개의 면은 덮개가 씌워져 있으므로, 바닥과 연결된 2개의 면만 덮개를 씌우도록 한다.
(경험이 쌓이면 쉽게 이해가 되지만 처음은 낯설기 때문에 이 부분이 대개 서툴다.)

(1) 처음 그림처럼 정육면체의 바닥이 옆으로 가게 눕힌다. 이때 보이는 앞면의 날개는 바닥과 평행이 되게 한다. 덮개가 될 유닛을 2개의 날개를 접고 바닥과 연결된 날개에 새 덮개를 끼운다. (2) 끼운 덮개를 위로 접어 올리고, 윗면 덮개의 연결할 날개를 살짝 들어 올렸다가 새 덮개의 날개 사이에 끼운다.

(3) 3개의 덮개는 모두 한 꼭짓점에서 만나야 한다. 그림처럼 3번째 덮개를 (1)처럼 끼우고, 끼운 덮개를 위로 접어, (4) (2)처럼 윗면의 날개를 살짝 들어 올렸다가 끼운다.
덮개를 씌우는 이유는 첫째 보기 싫은 날개를 감추는 것이고, 둘째 정육면체를 강하게 만드는 것이다.

(5) 3면은 덮개가 씌워져 있고, (6) 반대편 3면은 덮개가 씌워져 있지 않다. 날개 쪽으로 다른 정육면체가 붙게 된다.

1단계 멩거 스펀지 - 정육면체 붙이기

정육면체를 붙이는 것은 멩거 스펀지를 어떻게 만드느냐 하는 문제이다. 정육면체는 다양한 방법으로 붙일 수 있다.
여기에서는 정육면체들의 날개를 서로 맞물리게 끼워서 구조적으로 단단하고 안정적이 되게 했다. 날개를 맞물리는 방법은 정육면체들을 붙이기 위해 풀칠을 하거나 테이프를 붙이는 것처럼 정육면체들을 강하게 결합시킨다.

(1) 위의 그림들은 정육면체 위에 다른 정육면체를 붙이는 모습이다. 2층이 되었다. 정육면체 만들기와 다른 점은 1번 유닛 대신에 이미 만들어진 정육면체의 날개를 사용한 것이다. 나머지 과정은 정육면체 만들기와 같다.

(2) (1)번에서 만든 2층의 4개의 옆면에 덮개를 끼우겠다. 우선 이것들을 오른쪽으로 눕힌다. 2층이 오른쪽이다. 새로운 덮개를 끼운다. 좌우를 바꾸어 2층이 왼쪽에 오게 뒤집고, 뒷면을 앞쪽으로 돌린다. 또 다시 새로운 덮개를 끼운다.

(3) (2)번에서 만들 것을 일으켜 세운다. 같은 방법으로 앞과 뒤에 덮개를 끼운다. 덮개를 씌우는 일은 아주 중요하다. 나중에 덮개를 씌워야지 생각한다면 실수 하는 것이다. 이제 왼쪽으로 눕힌다.

(4) (3)번에서 만들 것 위에 정육면체 하나를 다시 만들겠다. 방법은 똑같다.

(5) (4)번에서 만들 것 2층 옆면에 4개의 덮개를 모두 끼운다.

(6) (5)번에서 만들 것을 바닥에 눕히고, 위쪽에 다시 2층을 만든다. 방법은 같다. 옆면에 4개의 덮개를 모두 끼운다.

(7) 앞에서 했던 방법으로 그림 순서대로 날개를 서로 맞물리게 끼우면서 정육면체의 수를 늘려간다. 이 때 다른 정육면체와 연결되지 않는 부분은 덮개를 미리 씌우면서 늘려나가야 한다. 특히 안쪽에 위치한 덮개는 미리 끼워 넣어야 한다.
마지막 정육면체는 아래 그림을 참고하여 끼워 만든다.

(8) 정육면체의 꼭짓점 부분은 아주 중요하므로 주의 깊게 끼워야 한다. 왜냐하면 나중에 멩거 스펀지를 이동하려고 할 때 우리가 손으로 잡는 부분이 대개 이 꼭짓점 부분이다. 이 부분이 잘못 연결되어 있으면 손으로 잡을 때 유닛이 빠져서 멩거 스펀지가 으스러져 버린다.

순서는 예전과 똑같다. 우선 바닥의 날개 사이에 2개의 유닛을 끼운다.
새로운 유닛을 2개의 유닛 사이에 올려놓는데 날개 하나는 정면에 보이는 날개 속에 끼워 넣는다.

또 다른 새로운 유닛을 정면에 보이는 날개 앞쪽으로 끼워 넣어 서로 감싸 안는 모양이 되게 한다.
앞에도 새로운 유닛을 올려놓는다.

새로운 유닛으로 위를 덮는데, 새 유닛의 날개 하나는 반드시 안쪽(빨간색 표시)의 날개들 사이에 들어가야 한다.
바닥과 옆의 2개의 면에 덮개를 씌운다. 그림을 참고하여 조심해서 끼우도록 한다.

위의 순서는 고정된 것이 아니다. 하지만 이런 순서로 만드는 것이 편했다. 이렇게 멩거 스펀지를 만들다 보면 마치 작은 집을 짓는 기분이 든다. 바닥 공사를 하고, 기둥을 세우고, 지붕을 올리는 것이다. 어느 것 하나도 소홀히 할 수 없다. 지금은 기둥이지만 옆으로 눞히면 바닥이 된다. 뒤집으면 이젠 지붕이 된다.
내가 아빠이고, 남편이고, 아들이고, 형이고 동생이고, 친구이고, 선생님인 것처럼 있는 위치에 따라 그 역할이 달라진다.
집중을 하지 않으면 가끔 안쪽의 덮개를 끼우지 않은 체, 몇 단계를 지나는 수가 있다. 아~! 이걸 어떻게 끼우지?
방법이 없다. 모두 뜯어내야 한다. 순서를 무시하면 다시 처음으로 돌아가야 할 경우가 생긴다.

(10) 위의 순서대로 유닛들을 날개들 사이사이에 하나씩 맞물리게 끼워야 한다. 처음에 끼우는 유닛은 바닥의 두 날개 사이에 끼워져야 한다. 두 번째 유닛은 새로운 바닥이 되는 데, 옆에 있는 두 날개 아래쪽에 끼워져야 한다.

세 번째 유닛은 처음 유닛을 앞으로 잡아당기면 보이는 두 개의 날개 사이에 끼워야 한다. 반드시 서로 맞물리게 잘 끼워야 한다. 네 번째 유닛부터는 순서가 중요하지 않다. 편한 대로 끼워나가면 된다. 여기에서는 윗면을 먼저 끼웠다. 화살표가 가리키는 곳은 끼워 넣으려는 유닛의 날개가 들어가야 할 곳의 위치다. 역시 두 개의 날개 사이에 끼워야 한다

다섯 번째 유닛을 끼우고, 여섯 번째 유닛을 끼웠다. 유닛들은 서로 감싸 안아야 한다.따뜻해 보이지 않는가? 서로가 배려하고 서로를 바르게 잡아주고 있다. 잘못 끼워진 유닛은 비바람이 심한 날 닫히지 않은 창문처럼 큰 골치거리가 된다. 틈이 생기지 않게 문을 닫아야 하는 것처럼 유닛들도 잘 끼워주어야 한다.
언제나 마지막이 가장 신기하고 재미있다. 이제 세 개의 덮개만 씌워주면 된다.

어떤 사람은 이렇게 단순한 반복이 무슨 의미가 있느냐고 묻는다.
하지만 단순한 것들의 위대함을 잊어서는 안 된다. 생명을 유지하는 것은 반복적인 호흡과 반복적인 심장박동 덕분이다.
밥을 먹을 때도 반복적인 숟가락질과 젓가락질에 의해 배가 부르고 덕택에 생명을 유지할 에너지를 얻는다.
때로는 김치를 집어 올리다가 떨어뜨리기도 하고, 뜨거운 찌개 국물을 흘리기도 한다.
이런 실수를 통해 행동을 수정하고 바른 방법을 배운다. 위대한 결과에 비하면 이런 실수는 전혀 문제가 되지 않는다.
무엇을 반복해서 만든다는 것 역시 같은 것이 아닐까?
위대한 피라미드도 거대한 돌을 반복해서 쌓았고, 수십 층짜리 빌딩 지을 때도 반복적인 과정이 되풀이 된다.
만든다는 것은 힘을 균형있게 조정하려 구성하는 법을 배운다는 것 같다.
멩거 스펀지를 만들다 보면 다른 것과의 관계를 이해하여 구조를 파악하고 그 과정에서 자신이 하고 있는 일의 소중함과 중요성을 알게 된다. 똑같이 다른 사람의 일의 중요성도 인정하게 된다.

완성된 1단계 멩거 스펀지이다. 맨 마지막 덮개는 다른 방법으로 끼워야 한다.
새로운 덮개를 하나 준비해서, 덮개의 날개 하나를 손가락으로 둥글게 만든다. 덮개의 다른 날개 하나를 마지막 남은 면의 두 개의 날개 사이에 끼우고, 둥글게 만 날개를 정육면체의 다른 쪽 날개 사이에 끼우고 살짝 앞으로 밀면, 안으로 쏙~ 들어간다. 이것은 솔직히 쉽지는 않지만 자주하다 보면 조금씩 쉬워진다.

명함으로 만드는 멩거 스펀지