완전수(Perfect number)

    피타고라스가 가장 관심을 둔 것은 '완전수perfect number'였다. 그는 다음과 같이 생각했다.
    수의 완전성Completeness을 좌우하는 것은 그 수의 약수(원래의 수를 나누어 떨어지게 하는 수)들이다. 예를 들어 12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6 인데 약수들을 모두 더한 값이 원래의 수보다 큰 경우, 그 수는 '초과수excessive number'가 된다. 따라서 12라는 수는 약수들을 모두 더한 값이 16이므로 초과수이다. 반대로 약수의 합이 원래의 수보다 작은 경우에는 '불완전수defective number'가 된다. 즉, 10은 약수의 합이 1+2+5=8 이므로 불완전수이다. 가장 드물면서도 가장 중요한 수는 완전수이다.
    피타고라스는 어떤 정수가 자기와는 다른 약수 전체의 합과 같아질 때 그 정수를 완전하다고 보았다. 최초의 완전수는 6 이다. 이 수는 1, 2, 3 에 의해서 나누어지고 또 이 숫자들의 합 1+2+3=6 이기도 하다. 두 번째 완전수는 28 이다. 약수는 1, 2, 4, 7, 14 인데 이들 약수의 합이 곧 1+2+4+7+14=28 이다.

6과 8의 완전성을 인정한 사람은 피타고라스 학파의 회원들만이 아니었다. 이와는 다른 시대, 다른 문화권에 살던 사람들 중세의 종교 학자들은 6 과 28 의 완전수가 보여주는 완전함이 곧 우주를 구성하는 조직의 기본질서라고 주장했다. 신은 이 세상을 6일 만에 창조했고 달은 28일 마다 한번씩 지구의 주위를 도는 것이다. 성 아우구스티누스St. Augustine는 자신의 저서 <신의 도성 The City of God>에서, 자연계와의 관계 때문이 아니라, 수의 속성 그 자체가 수를 완전하게 만든다고 믿었다. 성인은 이렇게 말했다.

신은 이 세상을 한순간에 창조할 수도 있었지만 우주의 완전함을 계시하기 위해 일부러 6일이나 시간을 끌었다. 6은 신이 6일 동안에 세상을 창조했기 때문에 완전한 것이 아니라, 그 자체가 완전한 수이다. 그래서 하나님도 이 완전수를 모델로 하여 세상을 6일만에 창조한 것이다. 따라서 그 6일 동안의 창조작업이 설혹 없었다고 하더라도 6은 완전수로 남아 있을 것이다.

고대 그리스인들은 단지 4개의 완전수를 알고 있었다. 니코마쿠스는 그의 Introducio Arithmeticae (circa 100.A.D)에서

를 소개하였다. 그는 완전수에는 두가지의 규칙적인 패턴이 있다고 주장했다.

    첫째, 완전수는 한 자리의 수(1∼9)에 한 개, 두 자리의 수(10∼99)에서 한 개, 세 자리의 수(100∼999) 중에서 한 개, 네 자리의 수((1000∼9999) 중에서 한 개씩 존재한다고 말했다. 그러니까 n번째 완전수의 자리수는 n 자리의 수이다.
    둘째, 완전수의 일의 자리수는 6 과 8 이 반복적으로 나타난다고 했다.

    그러나 둘 모두가 틀렸다. 다섯 자리의 완전수는 없었다. 다섯 번째의 완전수는 고대 그리스 시대로부터 17세기가 흘러간 다음에야 어느 익명의 필사본에서 발견되었다.

P₅의 일의 자리수는 6 이었다. 그러나 여섯 번째의 완전수의 일의 자리수는 8 이 아니라 또다시 6 이었다.

여기서 얻은 것은 '완전수의 일의 자리는 항상 6 또는 8 로 끝나지만 반드시 반복적이진 않다.'라는 사실이다. 또한 P₆은 완전수의 희귀성을 확신시켜 주었다. 완전수가 몇 개나 있는가 하는 문제는 아주 어려운 난제이다. 완전수의 개수가 유한인지 혹은 무한인지에 대해서 아무도 알지 못하고 있다.

피타고라스는 여러 가지 특유의 성질을 갖고 있음을 알아냈다. 그 중 하나로서 완전수는 항상 연속되는 자연수의 합으로 표현될 수 있다.

          6 = 1 + 2 + 3
        28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7
      496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + ‥‥‥‥ + 30 + 31
    8,128 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + ‥‥‥‥ + 126 + 127

완전수에 관하여 피타고라스가 발견한 또 하나의 '완전성'은 '2'라는 숫자와 깊은 관련이 있었다. 4(2×2), 8(2×2×2), 16(2×2×2×2) 등의 수들은 2를 모두 연속적으로 곱하여 만들어진다는 공통점을 갖고 있다. 즉 이들은 모두 2ⁿ(n은 지수로서 2를 곱하는 횟수를 나타낸다)으로 표현될 수 있다. 그러나 이렇게 만들어진 숫자들은 결코 완전수가 될 수 없다. 왜냐하면 이런 수의 약수들을 모두 더해보면 원래의 수보다 항상 1이 작기 때문이다. 즉 '안타까운' 불완전수 인 것이다.

그로부터 2세기가 지난 뒤, 유클리드는 피타고라스의 발견을 한층 더 우아하게 표현해 냈다. 즉 완전수는 항상 두 자연수의 곱으로 표현할 수 있는데, 이들 중 하나는 2의 제곱수이고(2ⁿ), 나머지 하나는 그 수에 다시 2를 곱한 뒤 1을 뺀 수(2ⁿ⁺¹ -1)라는 것이었다. 이를 식으로 표현하면 다음과 같다.

4개의 완전수가 모두 짝수였기 때문에, 고대 그리스인들은 '홀수인 완전수가 존재할까?'에 대해서 의문을 품었다. 1999년 6월 현재, 수학자들은 38개의 완전수를 알고 있으며 그 중 가장 큰 것은 4,197,919 자리수를 갖고 있다. 또 38개 모두 짝수이다. 새 매르센 소수 2ⁿ-1이 발견될 때마다 2^n-1 을 그 숫자에다 곱함으로써 새 완전수 2^n-1(2ⁿ-1)를 얻을 수가 있었다. 가령 현재까지 알려진 가장 큰 소수는 2^6,972,593-1 인데 2^6,972,592(2^6,972,593-1)을 함으로써 38번째의 완전수를 얻을 수 있는 것이다. 수학자들은 39번째 완전수가 홀수일 가능성을 완전 배제하지는 못한다. 홀수 완전수가 과연 존재할까 하는 문제는 가장 오래된 미해결의 수학문제이다. 만약에 있다면 그 수는 아주 큰 수일 것이다.

완전수를 이진법의 수로 나타내어 보는 것도 흥미롭다. 아래 패턴을 살펴보아라.

      110₍₂₎
      11100₍₂₎
      111110000₍₂₎
      1111111000000₍₂₎
      1111111111111000000000000₍₂₎
      111111111111111110000000000000000₍₂₎