단위 분수(Unit fraction) 
단위 분수는
1 / 5, 1 / 8, 1 / 127 같이 양수의 역수 reciprocal 로서 1을 분자로 하는 분수를
말한다. 단위 분수는 고대 이집트인들의 특별한 사랑을
받았는데 고대인들은 단위 분수가 아닌 분수는 취급하지 않으려 했다. (단 2 / 3
과 같은 분수는 예외인데 이 분수는 특별 상형문자로 표기되었다.)
우리들이 고대 이집트 수학에 대해서 알고 잇는 것은 대부분, 3500년 이상 보존되어온 파피루스 두루마리에서 나온 것이다. 그 중 가장 유명한 것이 18피트 길이에 1피트 넓이의 린드 Rhind 즉 아흐메스Hhmes 파피루스(1650 B.C)이다. (아흐메스는 이 파피루스보다 더 오래된 파피루스에서 내용을 복사한 필경사인데, "존재하는 모든 것에 대한 통찰, 애매한 비밀의 지식을 약속했다." 헨리 린드 Henry Rhind는 1858년 룩소르에 있는 나일강 레조트에서 이 파피루스를 사들인 스코틀랜드의 골동품 애호가이다.)
린드 파피루스는 2 / n 를 서로 다른 단위 분수의 합으로 표현한 계산표로 시작하고 있다. (n은 5부터 101까지의 모든 홍수). 예를 들면 이렇게 표기하고 있는 것이다.
2
/ 5 = 1 / 3 + 1 / 15
2
/ 7 = 1 / 4 + 1 / 28
2
/ 13 = 1 / 8 + 1 / 52 + 1 / 104
2
/ 15 = 1 / 10 + 1 / 30
왜 이집트인들이 분수를 이런 식으로 표기했는지는 분명치 않다. 이렇게 표기하는 것이 더 간단하다고 생각했는지도 모른다, 때때로 분수를 이렇게 표기하면 어떤 분수가 더 큰지 금방 알아볼 수 있다. 55 / 84 와 7 / 11은 어느 것이 더 큰가? 이것을 단위 분수로 표기하면 금방 분명해진다.
55
/ 84 = 1 / 2 + 1 / 7 + 1 / 84
7
/ 11 = 1 / 2 + 1 / 8 + 1 / 88
전설적인 수학자이며 또 탁월한 역사가이기도 한 앙드레 베유에게 왜 이집트인은 이런 식으로 표기했느냐고 물어보았다. 그랬더니 이렇게 대답했다.
"그들은 방향을 잘못 잡은 거지요."
그리스 사람들도 또한 방향을 잘못 잡았고(로마 숫자도 마찬가지였음), 17세기까지 유럽 전역에서 분수 표기방법으로 단위 분수를 선호했다. 플리니 장로는 「자연사 Natural History」라는 책에서 유럽의 면적이 "전 지구의 1 / 3 과 1 / 8 의 합보다 크다"라고 썼다. 바꾸어 말하면 1 / 3 + 1 / 8, 또는 11 / 24 이상이라는 것이다.
같은 분수를 반복하여 사용한다면, 분수를 단위 분수의 합으로 표기하는 것은 그리 어렵지 않다. 가령 4 / 5를 1 / 5 + 1 / 5 + 1 / 5 + 1 / 5 로 표기하는 따위이다. 그러나 분자가 서로 다르다면 이집트인들처럼 단위 분수의 합으로 표기하는 것이 그리 쉬울까? 그 답은 여전히 '그렇다'이다. 하지만 이 대답은 고대시대부터 있었던 것은 아니다. 중세의 가장 위대한 유럽 수학자인 레오나르도 피보나치 Leonardo Fibonacci 가 1202년 이 되어서야 겨우 밝혀낼 수 있었던 것이다.
사실 그 어떤 평범한 분수도, 무한히 다양한 방식으로, 단위분수의 합으로 표기될 수 있다. 피보나치는 다음과 같은 공식을 사용하면 단위 분수의 합이 무한히 확장된다는 것을 알아냈다.
가령 1 / 2 = 1 / (2 +1 ) + 1 / 2(2+1) = 1 / 3 + 1 / 6 이 되는 것이다. 위의 공식을 3개와 4개의 분수에 적용하면 이렇게 된다.
1
/ 2 = 1 / 4 + 1 / 12 + 1 / 6
1
/ 2 = 1 / 5 + 1 / 20 + 1 / 12 + 1 / 6
이런 식으로 무한히 단위 분수의 개수를 늘여나갈 수 있다. 피보나치는 단위분수를 소위 '탐욕스런 절차 greedy procedure'에 따라 만들어내는 것을 좋아했는데, 이 절차는 분수를 전개시킬 때마다 가장 큰 단위 분수를 택하는 방법을 말한다. 가령 3 / 7 의 탐욕스런 절차'는 다음과 같다.
3 / 7 = 1 / 3 + 1 / 11 + 1 / 231
설명하자면, 3 / 7 보다 작은 것 중에서 가장 큰 단위분수를 취하면 위와 같은 전개식을 얻게 된다. 1 / 2 은 3 / 7 보다 크므로 3 / 7 보다 작은 단위분수 중에서 가장 큰 것은 바로 1 / 3 이며, 3 / 7 에서 1 / 3 을 빼면 2 / 21을 얻는다. 이렇게 하여 남은 2 / 21 보다 작으면서 가장 큰 단위 분수는 1 / 11 이 된다. 그리고 2 / 21에서 1 / 11을 빼면 결국 1 / 231 이 나온다. 피보나치는 이와 같은 '탐욕스런 절차'에 의해서 항상 딱 떨어지는 숫자의 분수항을 만들어낼 수 있음을 보여주었다.
그러나 탐욕스런 절차든 무슨 절차든, 분수의 분모가 최소화되는 '최적'의 전개식을 얻는 절차는 알려지지 않았다. 3 / 7 의 전개식의 경우 가장 큰 분모(최적 분모)는 21이 된다.
3 / 7 = 1 / 6 + 1 /
7 + 1 / 14 + 1 / 121
이와는 다르게 분수의 개수가 3개가 되게 할 수도 있다.
3 / 7 = 1 / 3 + 1 / 11 + 1 / 231
그러나 이보다 더 나은 3개 분수의 전개식이 있을 수가 있다. 이 경우 분모는 231처럼 큰 수가 아니라 28 이면 충분하다.
3 / 7 = 1 /4 + 1 / 7 + 1
/ 28
다른 분수의 경우, 탐욕스런 절차는 때때로 가장 적은 분수의 개수나 가장 작은 분모를 제공하지 못한다. 예를 들어 5 / 121 이라는 분수는 다음과 같은 우스꽝스러운 결과를 만들어 내는 것이다.
5 / 121 = 1 / 25 + 1 / 757 + 1 / 763,308 + 1 / 873,960,180,193 + 1 / 7,638,092,437,828,241,151,744
실재 5 / 121 이라는 분수는 다음과 같이 3개의 분수로 간단히 표기될 수 있다.
5 / 121 = 1 / 25 + 1 / 759 + 1 / 208,725
이는 수학자 포르첼이 1969년에 공표한 것이다. 또한 5/121 의 단위분수 전해식은 최소한 3가지가 있다고 그는 지적했다. 그러나 그는 5/121의 단위분해식 가운데 최대의 분모를 더 줄일 수 있느냐 없느냐에 대해서는 모르고 있었다. 중국수학자 유윤근이 1983년에 이렇게 증명하였다.
5 / 121 = 1 / 33 + 1 / 99 + 1 / 1089
중국 왕효명은 이렇게 계산하였다.
5 / 121 = 1 / 33 + 1 / 121 + 1 / 363
5 / 121 = 1 / 27 + 1 / 297 + 1 / 1089
5 / 121 = 1 / 33 + 1 / 91 + 1 / 33,033
그러면 1을 분모가 각기 다른 단위 분수의 합으로 표시할 수는 없을까. 아래 열거한 항수는 제일 작으며 분모는 모두 각기 다른 홀수의 표현식이다. 다섯가지가 있다.
1 = 1 / 3 + 1 / 5 + 1 / 7 + 1 / 9 + 1 / 11 + 1 / 15 + 1 / 35 + 1 / 45 + 1 / 231
1 = 1 / 3 + 1 / 5 + 1 / 7 + 1 / 9 + 1 / 11 + 1 / 15 + 1 / 21 + 1 / 135 + 1 / 10,395
1 = 1 / 3 + 1 / 5 + 1 / 7 + 1 / 9 + 1 / 11 + 1 / 15 + 1 / 21 + 1 / 165 + 1 / 693
1 = 1 / 3 + 1 / 5 + 1 / 7 + 1 / 9 + 1 / 11 + 1 / 15 + 1 / 21 + 1 / 231 + 1 / 315
1 = 1 / 3 + 1 / 5 + 1 / 7 + 1 / 9 + 1 / 11 + 1 / 15 + 1 / 33 + 1 / 45 + 1 / 385
여기에 있는 1의 전해식은 1976년에 이르러서야 비로소 발견되었다.
분모가 홀수인 통상적인 분수는, 분모가 홀수인 단위 분수들의 합으로 표기될 수 있다. 가령 2 / 7 은 다음과 같이 표기된다.
2 / 7 = 1 / 5 + 1 / 13 + 1 / 115 + 1 / 10,465
1955년 AT &T의 로날드 그레이엄 박사는 젊은 시절 분모가 완전제곱수의 단위분수로 표기될 수 있는 분수를 생각해 내었다. 이 방법에 의하면 1 / 3은 다음과 같이 전개된다.
1 / 3 = 1 / 22 + 1 / 42 + 1 / 542 + 1 / 1122 + 1 / 6402 + 1 / 4,3022 + 1 / 10,0802 + 1 / 24,1922 + 1 / 40,3202 + 1 / 120,9602
그레이엄은 특정 범위 내에 있는 무한히 많은 분수들이 완전제곱수로 표기될 수 있음을 증명했다.
-'우리 수학자 모두는 약간 미친
겁니다' <승산>
-'수학의 정상의 보인다' <예가>