원

우주에서 가장 단순한 형태
원은 인간 본성의 고상한 작업 중에서도 신성을 표현하는 가장 고상한 것이다. 원은 공간을 결정짓고, 결정하고, 지배하고, 명령하며, 경도와 위도를 경계짓고, 태양과 달과 행성을 지칭하고, 마음에 영원에 대한 생각을 일으키며, 이해하는 거리와 우주에 대해 집중하여 상상할 수 있게 한다. 원은 모든 경계를 고치고 신을 알게 해주는 열쇠가 된다. - 존 데이비스, <원의 측정>, 1854

   pi = 3.14 1592 6535 8979 3238 4626 4338 3279 5028 8419 7169 3993 7510 5820                  9749 4459 2307 8164 0628 6208 9986 2803 4825 3421 1706 79

  파이는

그 값을 그리스 철자로  π 라고 쓰고, 파이 혹은 원주율이라고 부른다.

원은 그 크기와 상관없이 어떤 원이든 간에 둘레를 그 원의 지름으로 나누면 항상 일정한 값을 갖는다.
원의 반지름을 한 변으로 하는 정사각형의 면적에 대한 원 면적의 비다.

°  파이에 대한 탐구는 인간의 탐험 정신과 한계를 시험해 보고자 하는 억누를 수 없는 충동에 깊이 뿌리를 두고 있다.
°  파이의 계산은 고대 수학에서 시작하여 현대 수학에 이르기까지 진지하고도 지속적인 흥미를 불러일으킨 사실상 유일한 논제이다. - 렌 버그렌, 조나단 보와인, 피터 보와인
°  파이은 단순히 숫자를 불규칙하게 모아 놓은 것이 아니다. 파이는 하나의 여행이며 경험이다. 파이 안에 있는 자연의 시를 보려하지 않는다면 기억하기 쉽지 않다는 것을 알게 될 것이다. - 안트라니크 바스만
°  파이의 10자릿수로는 지구 둘레를 1인치까지 나타내는데 충분하며, 30자릿수이면 눈에 보이는 모든 우주로부터 가장 강력한 현미경도 감지할 수 없을 정도의 작은 양까지 표현할 수 있다. - 사어먼 뉴컴, 에드워드 캐스너와 제임스 뉴먼의 <수학과 상상력>에 인용
°  파이에는 계속해서 주목하게 하는 아름다움이 있다. 파이의 숫자들은 매우 불규칙하다. 실제로 아무런 패턴도 없으며, 수학에서 아무 패턴을 갖지 않는다는 것은 모든 패턴을 갖고 있다는 것과 같은 말이다. - 피터 보와인, 1996
° "내 원 안에 들어오지 말라!" 수학자는 침입자에게 말했다. 그러자 그 침입자는 화가 나서 칼을 빼들어 수학자의 몸에 꽂았다. 살인자의 이름은 잊혀졌다. 수학자의 이름은 아르키메데스였다. - 플루타르크

  파이값

소수점이하  1에서  1,000자리까지                    소수점이하  1에서  10,000자리까지
소수점이하  1에서  50,000자리까지                  소수점이하  50,001에서  100,000자리까지
소수점이하  100,001에서  150,000자리까지        소수점이하  150,001에서  200,000자리까지
소수점이하  200,001에서  250,000자리까지        소수점이하  250,001에서  300,000자리까지
소수점이하  300,001에서  350,000자리까지        소수점이하  350,001에서  400,000자리까지
소수점이하  400,001에서  450,000자리까지        소수점이하  450,001에서  400,000자리까지

참고 : http://perso-info.enst-bretagne.fr/~brouty/Maths/pi.html

파이의 역사

기원전 2000년경

바빌로니아 인들은 파이를 로 사용했다.
이집트인들은 파이를 로 사용했다.

기원전 1650년경

이집트의 서기 아메스가 쓴 '린드 파피루스'
'지름의 1/9을 잘라내고 나머지로 정사각형을 만들면 정사각형의 넓이는 원의 넓이와 같아진다.'
즉, 원의 넓이가 지름의 8/9의 제곱이라 함은 지름에 대한 원둘레의 비율이 이나 3.16049임을 암시한다.

기원전 1100년경

고대 중국에서는 과학과 수학문명이 발달했다. 그러나 중국의 수학자들은 기원전 12세기 경에 수학에서 커다란 진보를 이루었음에도 π=3을 사용하고 있었다.

기원전 550년경

구약성서 '열왕기상 7:23'에 솔로몬의 성전의 제단에 대한 기록.
'또 바다를 부어 만들었으니 그 직경이 십 규빗(1규빗은 팔꿈치에서 손끝까지의 길이)이요 그 모양이 둥글며 그 고는 다섯 규빗이요 주위는 삼십 규빗 줄을 두를 만하며'
위 구절은 지름에 대한 원둘레의 비율이 10규빗으로 30규빗을 나눈 수, 즉 3임을 나타내고 있다.

기원전 430년경

헤라클레어의 안티폰과 브리슨은 새로운 생각인 소진법(principle of exhaustion)을 사용하여 원의 면적 구하기를 시도하였다. 먼저 원에 내접하는 육각형을 택한다. 다음 변의 수를 두배한다. 변의 수를 계속 두 배씩 증가시키면 곧 많은 수의 변을 갖는 다각형을 얻는다. 이 다각형은 변의 수가 증가함에 따라 원에 접근하게 된다.
잘게 쪼갠 다각형을 그림처럼 배열하면 평행사변형이 나오는데, 이 조각들을 잘게 쪼게면 쪼갤수록 직사각형 모양에 가까워짐을 알 수 있다. 직사각형의 넓이를 구하면 원의 넓이도 알 수 있다. 하지만 원주율을 알아야 원의 넓이도 알 수 있다.

기원전 3세기경

시라쿠사의 아르키메데스(기원전 287-212)는 새로운 도전을 시작했다. 아르키메데스도 안티폰과 브리슨의 소진법을 사용하여 계산했다. 그러나 아르키메데스는 둘레의 길이에 초점을 맞추어 원둘레의 근사값을 구했다. 아르키메데스는 내접 외접하는 육각형의 변을 두 번씩 네 번 늘려 96개의 변을 갖는 다각형을 얻고 그 둘레를 계산하였다. 그 결과
" 어떠한 원도 지름에 대한 둘레의 비는 보다 크고 보다 작다' 라고 했다. 고 기록했다.
아르키메데스는  π=3.1416 라고 생각했다.

2세기경

클라우디우스 톨레미(87-165)는 저서 <천문학의 집대성>에 60진법을 사용하여 원주율을 3° 8′ 30′라고 적었다. 다른 말로 파이는 (약 3.14166)이라는 것이다. 

3세기경

왕번이 파이를 (약 3.1555)를 사용했다.

263년경

중국 삼국시대 위나라의 유희는 '구장산술'에서 파이를 (= 3.14)를 사용했다. 유희는 정백구십이각형이 원에 내접하는 경우와 외접하는 경우를 각각 구하여 원주율이 그 사이의 범위에 들어야 한다고 생각했다. 유희는 보다 정확한 원주율을 알고 있었지만 실제 계산에 적용되는 원주율은 π=3.14 정도면 충분하다고 보았다. 유휘의 이 값 π=3.14 를 후세 사람들은 '휘율'이라고 불렀다.

450년경

중국 송나라의 수학자이나 천문학자인 조충지와 아들 조훤지는
변이 24,576개인 내접다각형(아마도 육각형으로 시작하여 변의 수를 두배씩 12회 늘려간 것 같다.)을 이용하여 파이를 약 (약 3.1415929)로 추측했다. 이 아버지와 아들 연구팀은 세상에서 가장 진보된 계산을 했으며 천년이 넘도록 그 누구도 더 정확한 값을 발견하지 못했다.

530년경

아리아바타는 파이를 (약 3.1416)로 사용했다.

650년경

인도의 가장 저명한 수학자인 브라마굽타
그는 파이에 대한 '실용적인 값은 3'이고 '순수한 값은 √10'이라고 했다. 물론 그의 생각은 틀렸다.

1220년

피보나치는 저서 <기하학의 실천>애서 파이의 근사값을 (약 3.1418)라고 했다. 이 값은 아르키메데스보다 단지 0.0001만틈 더 정확한 값으로 800년 전 중국의 조충지의 진보한 계산이 당시까지 유럽에 전해지지 않았던 것이 분명하다.

1475년

이탈리아의 화가인 피에로 델라 프란체스카(15세기 움브리아파 화가의 대표, 투시도법을 연구하여 작품에 응용함)는 <정다면체의 소론>이라는 자신의 책에 파이를 22/7 라고 기록했다.

1593년

프랑수아 비에트는 파이값을 무한곱을 써서 기술했다. 비에트는 저서 <수학의 제 문제, 제8권>에서 반각 공식을 사용하여 파이를 다음과 같이 기술하는 방법을 발견했다.
    
이건 아마도 무한곱을 사용하여 기술한 최초의 경우였지만 적은 자릿수를 구하는 데도 복잡한 제곱근의 계산을 여러번 반복해야 했기 때문에 실제 파이를 계산하는 데는 사용하기 힘들었다.

1596년

독일의 루돌프 반 쿨렌.
수학자 루돌프 반 쿨렌은 아르키메데스의 방법으로 변의 수가 320억(60×2²⁹)각형을 이용하여 수년간 계산한 끝에 파이의 20자리까지 발견한다. 1610년 죽을 때까지 반 쿨렌은 같은 방법으로 파이의 35자리까지 계산해냈다. 독일에서는 생의 대부분을 바쳐 35자리까지 파이를 계산한 루돌프 반 쿨렌을 추모하여 파이를 아직도 '루돌프 수'라고 부르곤 한다.

1655년

존 월리스. 파이를 유리수의 무한곱으로 표현했다. 그러나 이 식은 복잡한 제곱근이 필요하지 않고 분수 계산만 포함한다. 월리스의 식은 또한 파이값에 천천히 수렴하기 때문에 흥미롭다.
   

1665-66년

아이작 뉴턴. 미적분법을 발견하고, 이항정리를 적용하여 파이를 적어도 16자리까지 계산했다. 그러나 1737년까지 발표되지 않았다. 사후에 발표됐다.
    
후에 뉴턴은 "부끄럽게도 이 계산을 위해 다른 일은 아무것도 못하고 많은 숫자들과 씨름하였다"고 기록하고 있다.

1671년

제임스 그레고리. 그레고리 급수는 1671년 발견되어 파이의 계산에 새 시대를 예고하였다. 이것은 완전히 새로운 방법으로 파이를 계산할 수 있게 했다.
  

1674년

고트프리드 빌헬름 라이프니츠. 그레고리 급수에 을 대입하는 단순과정으로 파이에 대한 아크탄젠트 급수를 발견했다. 이는 π에 대한 최초의 무한급수였다.

그러나 이 급수는 수렴하는 정도가 너무 느려서 소수 두 자리 갓을 얻는 데도 300항 이상이 필요했기 때문에 실용적인 것이 아니었다.

1699년

천문학자 에이브러햄 샤프는1651-1742)는 그레고리-라이프니츠 급수에 를 대입하여 72자릿수까지 찾아냈다.
  

1706년

런던의 천문학 교수인 존 마친(1680-1750)은 그레고리 급수를 더 빨리 수렴하게 하면서 계산도 편리하게 할 수 있는 새로운 전략, 두 개의 아크탄젠트 급수
       를 사용하였다.
마친은 이 두 아크탄젠트 값에 대한 그래고리 급수를 대입하여
     
를 얻었다. 존 마친은 π 값을 100자리까지 계산하였다.

1706년

윌리엄 존스는 1706년에 저서 <수학에 대한 새로운 입문>에서 π를 오늘날과 같은 의미로 최초로 사용하였다. 그러나 위대한 수학자인 레온하르트 오일러가 π를 사용하기까지는 30년이 흘러야 했다. 오일러는 1737년 <무한급수에 대한 다양한 관찰>에서 π 표기를 사용하자 널리 퍼졌다. 일단 오일러가 이 기호를 채택하자 π 는 그가 사용한 다른 기호들처럼 일반적인 기호가 되었다. 최종적으로 르장드르가 1794년에 쓴 교과서 <기하학 원리>를 출간할 때 유럽의 거의 모든 수학자들은 오늘날과 같이 π를 사용하였다.

1713년

중국 황실에서 발간한 <수리정온>에 파이의 19자리까지 기록했다.

1719년

토마스 팡테 드 라니가 파이를 127자리까지 계산했다.

1722년

일본의 다케베 켄코가 1024각형을 이용하여 41자리까지 계산했다.

1748년

레온하르트 오일러가 <무한해석학 서론>을 발간하여 오일러의 정리와  π와 π²에 관한 많은 급수를 실었다.
          ,     
                        
오일러가 쓴 <무한해석학 서론>에서 오늘날 우리가 사용하는 거의 모든 수학 기호들을 표준화하였다.
와 그 외의 많은 기호들이 모두 오일러가 남긴 유물들이다.

1755년

오일러가 다른 어떤 것보다 빠르게 수렴하는 아크탄젠트 급수를 발견하였다.
 
오일러는 의 식으로 π 값을 한 시간 만에 소수 20자리까지 계산하였다.

1767년

스위스 수학자 요한 하인리히 람베르트(1728-1797)는 파이의 소수점 아랫자리가 끝없이 계속된다는 즉, 무리수라는 수학적 증명을 해냈다. 람베르트는 에 대한 연분수를 다음과 같이 재미있게 제시하였다.
   

1777년

프랑스의 박물학자인  뷔퐁 백작(1701-1788)은 다음과 같은 문제를 냈다.
"길이가 L인 바늘을 간격이 d인 평행선들이 일정하게 표시된 탁자 위에 던진다면, 바늘이 평행선 중 하나와 교차할 확률을 얼마일까?"
d가 L보다 크다면 답은 이다. 바늘을 충분히 여러 번 던진다면 , 실제로 π 를 계산할 수 있다.  던진 횟수로 교차 횟수를 나누고(P) π에 대하여 풀면 가 된다. 이것을 몬테 카를로 방법이라 한다.  만일 바늘의 길이가 d이면 그 확률은  이다. 실험의 횟수가 증가할수록 그 결과는  π 에 더 가까이 가게 된다. 바늘을 충분히 여러번 던진다면, 실제로 파이를 계산할 수 있다. 물론, 이것은 매우 무모한 방법이다. 하지만 1901년 이탈리아의 수학자 라제리니는 3408번의 시행을 하여 π 의 값으로 3.1415929를 얻었는데 이는 소수 여섯째 자리까지 정확한 값이었다.

1794년

게오르크 베가가 파이의 140자리까지 계산했다.
르장드르는 π 가 무리수임을 더 엄밀하게 증명하였고, 나아가  π 가 어떤 유리수의 제곱근이 될지도 모른다는 희망을 불식시키기 위해 π²이 무리수라는 것도 증명했다.

1841년

윌리웜 러더포드는
   의 공식을 이용하여 208자릿수까지 구하였다.

1844년

슐츠 폰 슈타스니츠키와 요한 다제가 두달 동안 파이의 200자리까지 계산했다.

1855년

리히터는 파이의 500자리까지 계산했다.

1873년

윌리엄 생크스가 마침내 파이값을 707자릿수까지 구했다. 그러나 527번째 자리 이후 실수를 하여 다음 자리의 수들은 모두 잘못된 값이 되었다. 하지만 72년 뒤 퍼거슨이 틀렸다는 것을 증명할 때까지 아무도 그의 실수를 알지 못했으며 그의 707자릿수는 널리 받아들여졌다.

1874년

중국의 증기홍이 100자리를 발견했다.

1882년

페르디난토 폰 린데만,  π가 초월수임을 증명하였다. 그런데 초월수가 무엇이냐 하면,
와 같은 형태의 방정식을 n차 대수 방정식이라고 한다.
특히 계수가 모두 정수이면 이 방정식의 근을 '대수적인 수'라고 한다. 예를 들면,  의 계수는 정수이므로 대수방정식이다. 그 근은  이므로 분수, 즉 유리수는 모두 대수적인 수이다.
또  의 계수는 모두 정수이므로 대수방정식이다. 따라서 이 방정식의 근인 무리수    는 모두 대수적인 수이다. 하지만 실수 중에는 대수적인 수가 아닌 것도 많다. 우리는 이러한 수들을 초월수라고 부르는데 원주율 π 도 그 중 하나이다.

1904년

R. 찰스는 무작위로 쓴 2개의 숫자가 서로소일 확률이 이 된다는 것을 발견했다.

1945년

퍼거슨이 생크스의 계산 중 527번째 자리부터 틀렸음을 발견했다.

1947년

퍼거슨은 영국의 해군 사관학교에 있을 때, 공식
   
과 기계식 계산기를 이용하여 파이를 808자리까지 찾아냈다.

1949년

에니악, 미국에서 만들어진 에니악은 1949년 조지 라이트비스너, 존 폰 노이만, 메트로폴리스가 19,000개의 진공관과 수십만 개의 저항 및 콘덴서로 만들어진 거대한 기계를 사용해서 파이를 2,037자리까지 계산하였다. 계산에 걸린 시간은 단지 70시간으로  마킨의 공식
      을 따라서 프로그램되었다.

1955년

NORC으로 13분 동안 3,089자릿수를 계산했다.

1958년

파리 자료처리센터에서는 IBM704를 사용하여 파이의 첫 707자리를 40초만에 계산했다.
10년 전 퍼거슨이 같은 일을 하는 데 일 년이 넘는 시간이 필요했으며, 1세기 전의 생크스는 생의 많은 부분을 바쳤던 것을 기억해 보라.

1959년

IBM 704로 16,167자리까지 계산했다. 4시간 18분 동안 계산했다.

1961년

다니엘 생크스와 존 렌치가 뉴옥의 IBM 7090을 사용하여 100,265자릿수를 계산했다.  그들은 마킨의 공식을 더 이상 사용하지 않고, 1896년 슈퇴르머가 작성한 공식
     을 이용하였다.
이 공식의 처음 항을 계산하는 데에 2시간 7분이 소요되었고, 두 번째 항은 3시간 7분, 세 번째 항은 2시간 20분이 소요되었다. 최종적으로 이진수를 십진수로 변환하는 데 42분이 더 소요되어 최종 8시간 43분 만에 계산을 마쳤다.

1966년

파리 에너지 위원회의 IBM 7030을 이용하여 250,000자리까지 계산했다.

1967년

파리 에너지 위원회의 CDC 6600을 이용하여 500,000자리까지 계산했다.
이 프로그램도 슈퇴르머의 공식과 검토 과정에서 생크스와 렌치의 방법을 사용했다. 소요시간은 28시간 10분이 걸렸다. 이중 1시간 35분은 변환에 사용되었다. 또 검토하는데 16시간 35분이 소요되었다.

1973년

파리 에너지 위원회의 장 길로드와 부이어가 CDC7600를 사용하여 23.3시간 동안 파이의 백만번째 자리의 수를 찾아냈다.  
파이의 첫 백만자리는 99,959개의 0과, 99,758개의 1과, 100,026개의 2와, 100,229개의 3과, 100,230개의 4와, 100359개의 5와, 99,548개의 6과, 99,800개의 7과, 99,985개의 8과, 100,106개의 9로 이루어져 있다.

1983년

타무라와 가나다가 HITAC M-280H를 사용하여 30시간 동안 1600만 자리까지 계산했다.

1980년대 중반

조나단 보와인과 피터 보와인은 라마누잔의 식을 기초로 하여 파이를 계산할 수 있는 매우 강력한 방정식을 개발했다. 이 방정식은 반복되는 성질이 잇으며 계산의 결과를 식에 넣으면 파이에 훨씬 더 근접한다. 결과는 믿을 수 없을 정도여서 식을 실행할 때마다 얻을 수 있는 파이의 자릿수가 2-4배 증가한다.
   

1988년

가나다가 Hitachi S-820을 사용하여 6기간 동안 201,326,000자리까지 계산했다.

1989년

처드노브스키 형제가 4억 8천만 자리까지 계산했다.
가나다가 5억 3천 6백만 자리까지 계산했다.
처드노브스키 형제가 10억 자리까지 계산했다.

1995년

히로유키 고토는 1995년 파이를 42,195자리까지 기억하고 암송하여 신기록을 수립했다. 여거서 걸린 시간은 9시간이 약간 넘었다.
가나다가 60억 자리까지 계산했다.

1996년

처드노브스키 형제.
뉴욕에 거주하는 러시아 출신의 수학자 '처드노프스키 형제'는 소수점 이하 80억 자리까지의 계산을 이미 끝내고 1조(10¹²) 자리까지의 계산을 진행 중이라고 한다.

1997년

가나다와 타카하시는 Hitachi SR2201으로 29시간 만에 515억(3×2³⁴)자리까지 계산했다. 이것을 검증하기 위해 37시간 동안 다른 알고리즘을 이용하여 수퍼컴퓨터와 씨름했다.  재미있는 사실은 515억 자리 속에는 0123456789 라는 순서로 나타나는 경우가 6번 나오고, 또한 9876543210 이라는 순서도 6번 나타난다는 것이다.

1999년

도쿄대의 가나다 야스마사 교수는  2061억자리까지 계산했다.

2002년

도쿄대의 가나다 야스마사 교수 팀이 도쿄대 정보기반센터의 병렬 슈퍼 컴퓨터 Hitachi SR8000/MPP으로 4백시간 동안 소수점 이하 1조2411억 자릿수까지 계산했다.

왜 그렇게 많은 사람들이 많은 세월을 이 한 숫자 π 에 바쳤을까?

첫째, 무엇보다 파이가 재미있기 때문이다. 대부분의 수학자들은 쓸모있다기 보다는 재미있기 때문에 숫자와 공식들에 열중한다. 아이들이 오랫동안 컴퓨터 앞에 앉아서 게임에 열중하는 것,  무더운 여름 날 땡볕 아래에서 축구를 하는 것도 재미있기 때문이다.
둘째, 파이는 저항할 수 없는 도전을 의미한다.  등반가들이 세계의 가장 높은 산인 에베레스트 산에 끌리는 것처럼, 장대 높이뛰기 선수 러시아의 옐레나 이신바예바가 끊임없이 세계기록에 도전하고 뛰어넘는 것처럼 많은 수학자들은 π라는 수가 거기에 있기 때문에 끌리고 도전하는 것이다.
셋째, 파이 값의 계산은 우리의 생활이다. 접시의 넓이, 캔 속에 들어 있는 음료수의 양을 측정하는 데도 π 가 쓰이고, 자동차의 속력이나 주행거리를 알려주는 계기에도 π 가 사용된다. 주기적인 현상을 다룰 때 반드시 나타나는 신비한 수는 다름아닌  π 이다. 음악, 소리 빛, 전자기파등 모든 파동에는 π 가 들어있다.
넷째, 또 다른 확실한 이유가 있다. 컴퓨터를 실행하기 전에 신뢰할 수 있는지 시험해 보아야 한다. 하나의 시험 방법을로 π 값을 소수 수십만 자리까지 계산하도록 명령하여 그 숫자들을 검토해 보는 것이다. 이 숫자들이 일치하면 그 컴퓨터는 수백만가지의 계산 과정을 오차없이 수행하였던 것이다. 지난 1986년 전 세계인을 놀라게 했던 미국의 우주왕복선 첼린저호의 공중폭발 원인도 π 을 잘못 계산했기 때문이라는 것이 뒤늦게 밝혀지기도 했다. 2005년 7월 NASA가 뎀벨-1이라는 혜성을 정확하게 충돌시킨 딥 임팩트호의 성공도 궤도를 정확하게 계산해낸 수학적 능력이 뒷받침되었기 때문이다.

참고 :                          파이의 역사, 페트르 베크만, 경문사, 2002
파이의 즐거움, 데이비드 블래크너, 경문사, 2003
교과서 밖 기묘한 수학이야기, 에릭뉴트, 주니어김영사,2007
3월14일1시59분에 태어난 파이 이야기,여인갑, 문원출판,2001
멜론수학, 박영훈 황선희, 문예춘추,2007
오일러가 들려주는 파이 이야기, 오채환, 자음과 모음,2005