구

구(sphere)
우주에선 가장 평범한 형태

아이슬란드의 설치미술작가
올라퍼 엘리아슨(Olafur Eliasson)
'Inverted Berlin Sphere', 2005

3차원 공간에서, 어느 한 점에서 일정한 거리에 있는 점 전체의 집합, 즉 점의 자취를 구면이라 한다.
 

  우리가 만질 수 있는 가장 큰 구는 무엇일까요?  바로 우리가 밟고 서 있는 지구예요. 하지만 우리의 고향 지구는 거의 구에 가까운 입체예요. 창 밖을 보세요. 지구가 구 모양이라는 것을 믿을 수 있으세요? 산과 들, 강과 바다. 울퉁불퉁 한 지구가 구 모양이라니 믿을 수가 없지요? 하지만 바다에 가서 수평선을 보면 지구가 구 모양이라는 믿음이 생겨요.
  옛날에는 지구가 평평하다고 생각했어요. 하지만 뱃사람들은 지구가 구 모양이라는 것을 알고 있었어요. 해안에서 수평선 멀리서 오는 돛단배를 보고 알았대요. 배가 수평선 너머에서 항구로 점점 다가오면, 처음에는 돛대의 끝 부분만 보이지만 이어 돛이 전체가 보이고 나중에는 배 전체 모습이 보이지요. 뱃사람들은 멀리 보기 위해 돛의 꼭대기에 올라갔어요. 지구는 거대한 구이기 때문에 높은 곳에 있을수록 좀 더 멀리 볼 수 있어요. 바다에서 2m 높이에 있으면 5km까지 볼 수 있어요. 만약 17m 높이에 있다면 15km까지 내다볼 수 있어요.
 지구가 구 모양이라는 것을 직접 두 눈으로 확인하고 싶으면 우주선을 타고 멀리 지구 밖으로 나가야 해요.
 

구의 겉넓이 - 귤을 이용하여 구의 겉넓이 구하기
  중학교 1학년 마지막 단원에 보면 원의 겉넓이를 측정하는 부분이 있어요. 말로만 설명하기 보단 직접 실험을 하면 아이들이 오랫동안 기억할 수 있어요. 특히, 내가 사는 곳은 제주도이고, 배우는 시기도 겨울이다보니 귤을 구하기가 아주 쉬워요. 어떤 선생님께서는 사과를 사다가 칼로 깎아서 실험을 하시던데, 귤은 칼이 필요없어요. 귤은 손으로 직접 껍질을 벗길 수 있어요. 깨끗한 손톱만 있으면 되요. (위험한 칼이 필요 없다는 뜻이지요.)  또, 실험이 끝나면 쉽게 공평하게 나눠 먹을 수도 있어요. 공부도 하고 배도 부르고. 일석이조예요.  이제 맛있는 귤을 이용하여 구의 겉넓이를 구해 봐요.

귤이 많이 있을 때는
준비물 - 같은 크기의 귤 4개(가능한 구 모양의 귤을 준비), 자(보고서를 써야할 경우에), 손톱(깨끗하게 씼은)

 1. 귤 4개를 윗줄에 2개, 아랫줄에 2개 놓으세요. 가로와 세로의 길이를 자를 사용하여 측정하세요. 귤 한 개를 꺼내 지름의 길이를 측정해도 좋아요.

2.  귤 하나를 꺼내 깨끗하게 씻은 손톱으로 껍질을 벗겨내세요. 벗겨낸 껍질로 원 모양을 만들어요. 틈이 생기면 껍질을 조금 뜯어내어 빈 곳을 메우세요.


3.  자로 원의 지름을 재어 귤의 지름과 비교해 보세요. 원의 지름은 귤의 지름의 몇 배인가요?
  누가 원의 지름의 길이를 재는 사이에 참지 못하고 귤을 하나 먹어 버렸어요. 귤은 같이 나눠서 먹을 때 더 맛이 있어요.
 귤 껍질로 만든 원의 반지름의 길이와 귤의 지름의 길이가 같다는 것을 알 수 있나요? 물론 약간의 차이는 있을 수 있어요.

4.  그럼 귤의 겉넓이는 어떻게 구할까요?
    (귤의 겉넓이) = (귤의 껍질로 만든 원의 넓이)
           =  π × (귤의 껍질로 만든 원의 반지름)2
           =  π × (귤의 지름)2  =  π × (2 × 귤의 반지름)2
           = 4 × π × (귤의 반지름)2
   (귤의 겉넓이) = 4 × (귤의 가장 큰 단면의 넓이)

  귤을 반으로 잘라요. 어떤 모양이 보이나요. 동그란 모양, 즉 원이 나타나요. 원의 가운데는 구의 중심이 되겠죠. 구의 중심을 지나는 원을 대원이라 불러요. 대원은 구를 정확히 반으로 나눌 때 생겨요. 귤의 겉넓이는 이 대원의 넓이의 4배가 되요.
  구는 아주 특별한 도형이예요. 구의 표면은 모두 중심으로부터 정확히 같은 거리만큼 떨어져 있어요. 따라서 구를 어느 쪽으로 자르든지 항상 원이 나타나요. 다른 귤을 반으로 쪼개보세요. 역시 대원이 나타나지요?  
  지구의 대원 중 가장 잘 알려진 것은 적도예요. 대원은 지구의 중심을 지나는 방향으로도 그릴 수 있어요. 비행기 조종사는 반드시 대원을 알아야 해요. 왜냐면 대원을 따라 움직이는 것이 지구 위의 두 점을 지나는 가장 짧은 거리거든요.

귤이 1개만 있을 때는
준비물 - 귤 1개, 연필, 손톱(깨끗하게 씼은)

 1. 귤이 1개만 있을 때는 어떻게 하죠? 그림처럼 귤을 종이 위에 놓고 테두리를 따라 천천히 원을 4개 그리세요. 둥근 원을 그리기는 쉽지 않아요. .

2.   먼저 규을 깨끗하게 씻은 손톱으로 벗겨내세요. 벗겨낸 껍질로 4개의 원을 채워보세요. 천천히 하세요. 마지막 껍질을 채우면 깜짝 놀랄 거예요.


구의 겉넓이 - 고무공으로 구의 겉넓이 구하기
이 작품은 고무공을 잘라서 구의 겉넓이를 알아보는 실험기이예요. 아주 오래 전에 만들었었는데, 지금은 달랑 이 사진 한장만 남았어요. 이 고무공은 어린이 풀장에 흔히 있는 공이예요. 고무공 5개와 가위와 풀만 있으면 직접 만들 수 있어요. 하지만 만들기가 생각처럼 쉽지는 않아요.
1. 고무공을 일정한 간격으로 띠 모양으로 잘라 바닥에서 띠를 원 모양으로 둘둘 감으세요.
2. 고무공을 4개를 원 위에 얹어 놓아요.
3.  고무공 표면으로 만들어진 원의 지름의 길이가 고무공의 지름의 길이의 2배임을 알 수 있어요. 즉, 고무공 표면으로 만들어진 원의 넓이는 고무공의 가장 큰 단면의 넓이의 4배예요.
 
  • 구는 같은 부피를 갖는 입체 도형 중 최소의 겉넓이를 갖는다. 겨울잠을 자는 곰이나 다람쥐, 뱀 등은 몸을 공 모양으로 웅크리고 잔다. 이렇게 하면 몸의 열이 가장 적게 나가서 겨울을 안전하게 보낼 수 있다.
  • 가장 재미있는 구는 무엇일까? 아마 공일 것이다. 축구공, 야구공, 농구공, 골프공, 탁구공, 테니스공, 볼링공. 공은 다양한 크기와 색과 재료로 되어 있다.
  • 공의 가장 큰 특징은 구른다는 것이다. 주사위 같은 정육면체를 굴려보자. 주사위는 삐걱 덜커덕거리며 구르다 멈춰 버린다. 공의 표면은 모두 중심에서 똑같은 거리에 있기 때문에 모든 방향으로 매끄럽게 잘 굴러간다.
  • 또 공의 무게 중심은 공의 중심에 있다. 손가락 끝에 농구공을 올려놓고 균형을 잡아보자. 그리고 돌려보자. 손가락 끝을 정확히 공의 중심 아래에 오게 하면 잘 돈다.
  • 공의 또 다른 특징은 바닥과 닿는 면이 아주 작다는 것이다. 때문에 마찰이 적어 쉽게 굴러간다. 공을 살짝만 밀어도 계속 굴러간다.
  • 가장 쉽게 만들 수 있는 구는 비눗방울이다. 비누 방울은 완벽한 구이다. 비눗방울의 막은 눈으로 볼 수 있는 것 중에서 두께가 가장 얇다. 비눗방울 놀이를 해보자. 준비물은 대야, 물, 세제, 글리세린(약국에서 쉽게 구할 수 있다),  빨대.
    우선 비눗물을 만들자. 미지근한 물 한 컵과 세제 한 숟가락, 글리세린 조금을 넣고 잘 섞는다.  빨대 끝을 십자형으로 베어 펼쳐서 빨대를 비눗물에 적시자. 그리고 조심스럽게 불어보자. 작은 비눗방울들이 많이 만들어진다. 이 때 만들어지는 비눗방울은 아무리 작아도 또는 커도 반드시 완벽한 구가 된다. 그러나 비눗방울 2개나 3개가 서로 붙으면 어떤 모양이 될까? 비눗방울을 1개 만들어 젖은 종이 위에 떨어뜨리자. 첫 번째 비눗방울 옆에 비눗방울을 하나 더 조심스럽게 놓는다. 비눗방울 2개가 만나면 평평한 벽이 만들어진다. 세 번째 비눗방울을 붙여보자. 비눗방울들은 어떻게 붙어 있는가? 비눗방울은 언제나 3개가 함께 모여 120도의 각도로 만난다.
  • 동전을 바닥에 세워서 돌려보자. 어떤 모양이 보이는가? '맞습니다. 맞구요. 공 모양입니다.' 공 모양, 즉 구가 나타난다.

참고 : 원(수학, 과학, 자연에서  찾는 도형)/캐서린 셀드릭 로스/ 비룡소