25. 폴야의 일반화


Polya(1954)는 피타고라스의 정리에 대한 우아한 증명을 제시했다. Polya는 피타고라스의 정리의 더 일반적인 정리 즉,
" 직각삼각형의 각 변 위에 있는 닮은 도형을 그리면, 빗변 위에 그린 도형의 넓이는 다른 두 도형의 넓이의 합과 같다"
는 정리를 증명했다. (아래의 증명은 Polya의 증명을 해석하며 나름대로 설명을 추가한 것이다.)

 

 

∠A가 직각인 △ABC 를 그리고, 각 변 BC, BA, AC 위에 서로 닮음인 도형을 그리자.  점 A에서 변  BC에 수선  AD를 그리면,

       △ABC ∽ △DBA ∽ △DAC  이다.

그리고, △ABC ∽ △DBA  이므로
        BC : AB = AB : BD     ∴  BD = AB2/BC

그런데,  BC : BD = BC : AB2/BC
        = BC2 : AB2 = λBC2 : λAB2 = S1 : S2
(∵ 빗변 BC를 한변으로 하는 정사각형의 넓이는  BC2 이므로  빗변 BC 위에 그린 도형의 넓이는   S1= λBC2 이라고 놓을 수 있다.)

따라서,  BC : BD = S1 : S2   이다.

똑같은 방법으로, △ABC ∽ △DAC  이므로

          BC : DC = S1 : S3    이다.

그런데,  BC = BD + DC   이므로   S1 =  S2 + S3

" 직각삼각형의 각 변 위에 있는 닮은 도형(다각형)을 그리면, 빗변 위에 그린 도형(다각형)의 넓이는 다른 두 도형(다각형)의 넓이의 합과 같다"
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이 증명의 갖는 의미는 직각삼각형의 각 변 위의 도형의 모양에 관계없이- 반원, 삼각형, 사각형, 오각형 등 - 그 도형이 닮음이면 빗변 위의 도형의 넓이는 나머지 변 위에 그린 도형의 넓이의 합과 같다는 것이다.
특히, λ=1 일 때 S1 ,  S2 , S3  는 직각삼각형의 변 BC, BA, AC를 각각 한 변으로 하는 정사각형의 넓이가 되므로,
결국, 피타고라스의 정리(∴  AB2 + AC2 = BC2)를 일반화한 정리는 증명되었다. 이 정리는 원리의 일반성을 드러내므로 피타고라스 정리 자체에 대한 보다 깊은 통찰을 제공한다.

 참고 : 학교수학의 교육적 기초, 우정호, 서울대학교출판부, p 116~118
http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml Proof #7