28. 톨레미의 정리를 이용한 증명


 

이 증명은 톨레미의 정리를 이용한 증명법이다.

톨레미의 정리 : 원에 내접하는 사각형에서 두 대변의 길이의 곱의 합은 두 대각선의 길이의 곱과 같다.

즉,  AB·CD + AD·BC = AC·BD  이다.

이 때,  □ABCD 가 직사각형이면

    ∴  AB2 + BC2 = AC2
 
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* 톨레미의 정리
  "원에 내접하는 사각형에서 두 대변의 길이의 곱의 합은 두 대각선의 길이의 곱과 같다."

∠CAD와  ∠BAE가 같도록 선분 BD 위에 점 E를 잡아 선분 AE를 그으면, △ABE ∽ △ACD 이다. 그러므로

   AB : BE = AC : CD   즉, AB·CD = AC·BE ……①

같은 방법으로 △ABC ∽ △AED 이다. 그러므로

   AC : AD = BC : ED   즉, AD·BC = AC·ED ……②

① 과 ②의 각 변을 더하면

   AB·CD + AD·BC = AC·BE + AC·ED
                          = AC(BE + ED) = AC·BD

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http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml Proof #21
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