피타고라스의 정리의 증명

36. Ann Condit의 증명

△ABC 는 ∠C 가 직각인 삼각형이다.
BC, CA, AB 의 길이를 각각 a, b, c 라고 하고,
그림처럼 BC 와 AC 를 한 변으로 하는 정사각형을 그리면,
     △ABC ≡ △PCQ (∵SAS) 이므로
     ∠CPQ = ∠A ……①
△ABC 의 빗변 AB 의 중점을 M 이라 하고,
MC 의 연장선과 PQ 의 교점을 R 이라고 하자.
AM = MB = MC 이므로 △CMB 는 이등변 삼각형이다.
따라서, ∠MBC = MCB 이고,
또, ∠PCR = ∠MCB (∵맞꼭지각) 이므로
    ∠PCR = ∠MBC ……②
①, ② 에 의해 ∠CRP = ∠R. 즉, MR ⊥ PQ

이제, △MCP 의 넓이를 두 가지 방법으로 구해보자.
(1) △MCP 에서 PC = b 를 밑변이라고 하면, 삼각형의 높이는 M 에서 PC 까지의 거리이다. 즉, AC/2 = b/2 이다.       따라서 △MCP = 1/2 · b · b/2 = b²/4
(2) △MCP 에서 CM = c/2 를 밑변이라고 하면, 삼각형의 높이는 PR 이다.
      따라서 △MCP = 1/2 · c/2 · PR = c·PR /4
    △MCP = b²/4 = c·PR /4 이므로   ∴  b² = c·PR ……③

비슷한 방법으로, △MCQ = a²/4 = c·RQ /4 이므로 ∴ a² = c·RQ ……④

③, ④ 의 양변을 각각 더하면,

∴ a² + b² = c·PR + c·RQ = c(PR + RQ) = c·c = c²

이 증명은 1938년 미국의 고등학생 Ann Condit 의 증명으로 알려져 있다.
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http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml Proof #31