43. J. Barry Sutton 의 증명


이 증명은 사비트 이븐 쿠라(Thâbit ibn Qurra, 836-901)가 증명 중 하나를 생각하게 한다. 하지만 그것과는 완전히 다르다. 이 증명은 J. Barry Sutton 이 2002년 3월, The Math Gazette  에 발표한 것이다.

△ABC 은  ∠C = 90° 인 삼각형이다.  BC, CA, AB 의 길이를 각각 a, b, c 라고 하고, AB 의 연장선 위에 BC = BD = BE = a 인 점 D, E 를 잡자.  점 B 가 중심이고 점 C 를 지나는 반지름이 a 인 원을 작도하면, ∠DCE 는 (지름이 DE 인) 반원에 대한 원주각이다.  즉, ∠DCE = 90°

  ∠ACB = 90° =∠DCE  이므로, ∠ACD = ∠ACB - ∠DCB = ∠DCE - ∠DCB = ∠BCE
   △BEC 와가 이등변 삼각형이므로,   ∠BCE = ∠BEC      즉,   ∠ACD = ∠BEC ……①   
  △ACD 와  △AEC 에서 ∠DAC 는 공통  ……②
   ① , ② 에서,  △ACD 와  △AEC  닮음(AA닮음)이다.

  따라서,   AC : AE = AD : AC     즉,   b : c + a = c - a : b 
            b2 = (c + a)( c - a) ,     b2 = c2 - a2         ∴  a2 + b2 = c2 

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http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml Proof #39