5. 목공이 처리해야 할 문제(풀이)

          


  계단원칙에 의해 두 조각으로 잘려져 정사각형을 형성하기 위해 그 변이 2개의 연속적인 전체 수의 제곱인 어떤 정사각형 모양의 판자를 택한다. 그러므로 다음의 도표에서 1의 제곱(1)과 2의 제곱(4), 또는 2(4)와 3(9), 또는 3(9)과 4(16) 등과 같은 경우이다. 이 도표는 원하는 어떠한 길이까지로라도 확대될 수 있다.
 

 

변

계단의 차례

정방형의 변

 

 

1×4

1

2

 

 

4×9

2

6

 

 

9×16

3

12

 

 

16×25

4

20

 

 

25×36

5

30

 


도형 (가)는 판자가  1×4인 간단한 경우를 나타낸 것이고 도형 (나)는 4×9의 경우이며
도형 (다)는 16×25의 경우를 나타낸 것이다.
앞으로 나아감에 따라 계단의 수가 규칙적으로 증가한다는 것을 쉽게 알 수 있다.  16×25인 경우 정사각형의 한 변이 길이가 20이 되므로 계단의 높이는 20-16=4 가 되며 폭은 25-20=5 가 된다. 변들은 제곱수이고 함께 곱해진 두 개의 제곱수는 항상 또 다른 제곱수를 만드므로 그 영역은 항상 완전한 정사각형이 된다.
 

 

  그러나 이런 사실로부터, 예를 들어 9×25인 판자가 그 영역의 변이 15인 정사각형이 된다는 이유로 마찬가지로 작용한다고 결론을 내려서는 안된다. 도형 (라)는 바로 그런 경우에 이루어진 것을 잘 나타내 보여주고 있지만 조각이 둘이 아니라 셋이다. 이는 9가 추가된 높이 6의 곱도 아닐 뿐 아니라 25도 축소된 길이 10의 곱이 아니기 때문이다. 결국 계단들이 형성될 수 없다.

  물론 변의 어떤 곱은 작용한다. 그러므로 8×18인 판자는 모든 수치를 0.5 배로 함으로써 두 개의 계단에서 4×9와 같이 정확하게 풀린다. 마찬가지로 4×6.25인 판자도 작용한다. 왜냐하면 그것은 계단의 높이가 1이고 폭이 1.25인 16×25와 똑같은 비이기 때문이다. 전자의 경우 우리는 그것을 분수처럼 축소시켜야 하고 두 번째 경우에는 분수를 없애기 위해 4로 곱해야 한다.

  그러므로 우리는 4×9와 16×25가 각각의 경우에 있어서 연속되는 숫자의 제곱임을 알아야 하며 따라서 풀이가 가능하다는 것을 알게 된다.