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여기에서는 플라톤의 입체(정다면체) 에 대하여 알아보겠습니다.

 정다면체는 각 면이 모두 합동인 정다각형이고, 또 각 꼭지점에 모이는 면의 개수가 같은 볼록한 다면체를 말한다. 플라톤의 다면체라고도 한다. 플라톤은 정다면체가 5가지 뿐이라는 사실이 몹시 신기했던지 우주를 구성하는 4가지의 원소를 정다면체와 대응시켰다. 흙-정육면체, 불-정사면체, 공기-정팔면체, 물-정이십면체 등 정다면체를 하나씩 대응시켜 정십이면체가 우주를 상징한다고 믿었다고 한다.
 5종류의 정다면체는 고대 그리스에서 발견되었으며, 유클리드의 《기하학원본》 최종권(제13권)에 기술되어 있다. 정사면체·정육면체·정팔면체는 오래전부터 알려져 있었지만, 정십이면체·정이십면체는 피타고라스학파에 의해 발견되었다.


■  순환하는 정다면체

정다면체는 서로서로 끝없이 순환하는 성질이 있다. 다섯 종류의 정다면체 안에는 각각 또 다른 정다면체가 들어 있다. 정십이면체로부터 정육면체, 정육면체로부터 정사면체, 정사면체로부터 정팔면체, 정팔면체로부터 정이십면체, 정이십면체로부터 정십이면체가 생겨난다. 결국 정십이면체에서 시작하여 다시 정십이면체까지 차례로 만들어 갈 수 있다. 이것을 '정다면체의 순환'이라고 한다. 이렇게 정다면체는 모양은 다르지만 서로서로를 품어주는 따뜻한 입체도형인 셈이다.


■  정다면체의 쌍대

정다면체의 순환에서 정이십면체의 각 면을 이루는 정삼각형의 무게중심을 이어서 정십이면체를 만들 수 있고, 반대로 정이십면체의 각 면을 이루는 정오각형의 무게중심을 이으면 정이십면체를 얻을 수 있다. 즉 정십이면체와 정이십면체는 서로 면과 꼭지점을 바꿔 넣은 다면체라는 것을 알 수 있다. 이와 같은 다면체를 "쌍대 다면체" 라고 부르는데, 정육면체와 정팔면체도 쌍대가 된다. 또 정사면체는 각 면의 중심을 이으면 다시 정사면체가 생기므로 그 자신이 쌍대가 된다.(쌍대다면체: dual-polyhedron)