4의 배수 마방진의 분석

- 8 x 8칸의 마방진을 예로 하여 설명합니다. -

1. 일정 패턴에 의한 정규적인 마방진들

아래 왼쪽 그림은 이곳에 나와있는 4의 배수 마방진의 작성법에서, 그리고 오른쪽 그림은 다른 책이나 사이트에서 8x8 칸 마방진을 작성할 때 사용된 영역 구분 방법을 나타낸 그림이다. 
이 곳 홈페이지의 사용 패턴        다른 책의 사용 패턴
위의 두 그림 패턴으로부터 보다 광범위하게 적용될 수 있는 4의 배수 마방진 작성법을 모색한 결과 다음과 같은 일반적인 규칙성이 나타남을 알게 되었다.

그러므로, 우선 4사분면 중의 한 영역에 각 행방향과 열방향으로 같은 갯수씩의 회색과 흰색 칸이 존재하도록 꾸민 후, 이를 다른 사분면에 반사시켜 준다. 그 다음, 회색 칸에는 정방향으로 해당 칸의 숫자를 써 내려가고 흰색 칸에는 역방향으로 해당 칸의 숫자를 채워오면 마방진이 완성된다. 물론 흰색을 정방향, 회색을 역방향으로 해도 차이는 없다. 보다 구체적인 것은 아래의 예들을 보면서 이해하도록 하자.


  1. 패턴 예제-1
    1 63 3 61 60 6 58 8
    56 10 54 12 13 51 15 49
    17 47 19 45 44 22 42 24
    40 26 38 28 29 35 31 33
    32 34 30 36 37 27 39 25
    41 23 43 21 20 46 18 48
    16 50 14 52 53 11 55 9
    57 7 59 5 4 62 2 64


  2. 패턴 예제-2
    1 63 62 4 5 59 58 8
    9 10 54 53 52 51 15 16
    48 18 19 45 44 22 23 41
    40 39 27 28 29 30 34 33
    32 31 35 36 37 38 26 25
    24 42 43 21 20 46 47 17
    49 50 14 13 12 11 55 56
    57 7 6 60 61 3 2 64


  3. 패턴 예제-3
    64 2 3 61 60 6 7 57
    9 10 54 53 52 51 15 16
    48 47 19 20 21 22 42 41
    25 39 38 28 29 35 34 32
    33 31 30 36 37 27 26 40
    24 23 43 44 45 46 18 17
    49 50 14 13 12 11 55 56
    8 58 59 5 4 62 63 1

2. 자리바꿈에 의한 변형된 마방진들

1 63 3 61 60 6 58 8
56 10 54 12 13 51 15 49
17 47 19 45 44 22 42 24
40 26 38 28 29 35 31 33
32 34 30 36 37 27 39 25
41 23 43 21 20 46 18 48
16 50 14 52 53 11 55 9
57 7 59 5 4 62 2 64
왼쪽 그림은 위의 예 1번을 옮겨 놓은 것인데, 여기서 2행의 흰색 칸에 있는 숫자 '56'과 7행의 같은 흰색 칸에 있는 숫자 '16'의 자리를 바꾸면 어떻게 될까?
2행과 7행에 40의 오차가 발생하게 되는데, 이는 같은 2행과 7행의 회색 칸에 있는 두 숫자 '12'와 '52'(또는 '13'과 '53')의 자리를 바꾸어 주면 오차가 상쇄된다. 즉 또 하나의 마방진 해를 얻게 되는 것이다. (그런데 같은 회색 칸에 속해 있는 '10'-'50' 또는 '15'-'55' 짝은 대각선 합과 관계되어 이러한 짝을 택한다면 문제가 복잡해질 것이다.)
자리바꾸기를 하나 더 해보자. 회색 칸의 '26'과 '31'의 위치를 바꾸는 동시에 같은 열의 흰색 칸에 속하는 '23'과 '18'을 바꾸어준다면 또 다른 마방진이 생성되는 것이다. 여러분도 쉽게 변형된 또다른 마방진을 생성할 수 있을 것이다.
1 63 3 61 60 6 58 8
16 10 54 52 13 51 15 49
17 47 19 45 44 22 42 24
40 31 38 28 29 35 26 33
32 34 30 36 37 27 39 25
41 18 43 21 20 46 23 48
56 50 14 12 53 11 55 9
57 7 59 5 4 62 2 64

3. 또다른 마방진들

여기서는 불규칙한 마방진보다는 마방진 모델을 좀 더 단순화, 정규화하여 기본 원리를 나름대로 분석한 후에 좀 더 변화된 마방진을 살펴보았다.
사실 나의 수학적 능력으로는 얼마나 많은 8x8칸의 마방진이 존재하는지 알 수가 없다.
대각선 칸들과 관계된 마방진의 변형이나 행과 열이 어긋난 자리의 위치바꿈에 의한 변형 등은 여러분 스스로가 시도해보기 바란다. 가장 단순한 패턴

과학의 탐구 과정에서도 그렇듯이 모델을 단순화하고 정규화하는 작업은 그 기본 원리를 이해하는데 매우 중요하다. 4의 배수가 아닌 짝수 마방진의 작성법도 위의 여러 패턴 예를 기본으로 확장되어 나갈 수 있겠으나, 역시 옆의 그림과 같은 가장 단순한(가장 큰 덩어리의) 패턴을 기본으로 하는 것이 가장 현명한 선택이 될 것이다.